Реши номер 497 498 понятно

Вот решения № 497 и № 498. Общий приём один: числитель и знаменатель раскладываем на множители и сокращаем общую скобку.

№ 497. Сократите дробь

а) \[ \frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{35}-\sqrt{15})}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}=\sqrt{2} \]

б) Здесь выносим \(\sqrt5\) сверху и \(\sqrt2\) снизу: \[ \frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5\,(\sqrt3-\sqrt5)}{\sqrt2\,(\sqrt3-\sqrt5)}=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}{2} \]

в) Сверху хитрость: \(9=3\sqrt3\cdot\sqrt3\), поэтому \[ \frac{9-2\sqrt3}{3\sqrt6-2\sqrt2}=\frac{\sqrt3\,(3\sqrt3-2)}{\sqrt2\,(3\sqrt3-2)}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2} \]

г) Здесь общий множитель угадывается сравнением слагаемых. Проверим \(\sqrt3\): \[ \sqrt3\,(2+\sqrt6-\sqrt2)=2\sqrt3+\sqrt{18}-\sqrt6=2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt6 . \] Это в точности числитель, значит \[ \frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt6}{2+\sqrt6-\sqrt2}=\sqrt3 . \]

Ответы к 497: а) \(\sqrt2\); б) \(\frac{\sqrt{10}}{2}\); в) \(\frac{\sqrt6}{2}\); г) \(\sqrt3\).

№ 498. Сократите дробь

а) Сверху \(\sqrt5\), снизу \(\sqrt2\): \[ \frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5\,(2\sqrt2-\sqrt5)}{\sqrt2\,(2\sqrt2-\sqrt5)}=\frac{\sqrt5}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}{2} \]

б) Числитель — это разность квадратов. Сначала упростим его: \[ (\sqrt{10}-1)^2-3=(\sqrt{10}-1)^2-(\sqrt3)^2=\big(\sqrt{10}-1+\sqrt3\big)\big(\sqrt{10}-1-\sqrt3\big). \] Первая скобка совпадает со знаменателем, поэтому \[ \frac{(\sqrt{10}-1)^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt3-1}=\sqrt{10}-1-\sqrt3 . \]

Ответы к 498: а) \(\frac{\sqrt{10}}{2}\); б) \(\sqrt{10}-\sqrt3-1\).

Как проверять себя: подставь приближённые значения корней. Например, в 498 б: числитель \(\approx 1{,}675\), знаменатель \(\approx 3{,}894\), частное \(\approx 0{,}430\), и \(\sqrt{10}-1-\sqrt3\approx 0{,}430\) — совпало. Такой числовой контроль быстро ловит ошибку в знаке.