реши мне правильно как в школе чтобы учительница заметила что это как она делает чтоб типа понял сделай мне номера 192 195 и 197
Сверь числа и знаки с фото.
- Докажите, что: а) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\); б) \(\sin \alpha - \cos \alpha = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\).
Докажите, что: а) \(\frac{\sin 2\alpha+\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 6\alpha}=\mathrm{tg}\,4\alpha\); б) \(\frac{\cos 2\alpha-\cos 4\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}=\mathrm{tg}\,3\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\).
Найдите значение выражения: а) \(\frac{\cos 68^\circ-\cos 22^\circ}{\sin 68^\circ-\sin 22^\circ}\); б) \(\frac{\sin 130^\circ+\sin 110^\circ}{\cos 130^\circ+\cos 110^\circ}\).
Кратко: в №192 и №195 доказываем тождества; в №197 получаем:
а) \(-1\); б) \(-\sqrt3\).
Для №195 и №197 используем формулы суммы и разности синусов и косинусов:
\[ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}, \] \[ \sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}, \] \[ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}, \] \[ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}. \]
№ 192
а) \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\)
Преобразуем правую часть:
\[ \sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) = \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right) \] \[ = \sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right) = \cos\alpha+\sin\alpha. \]
Получили левую часть, значит тождество доказано.
б) \(\sin\alpha-\cos\alpha=-\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)
\[ -\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = -\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha-\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right) \] \[ = -\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right) = -\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right) = \sin\alpha-\cos\alpha. \]
Тождество доказано.
№ 195
а) \(\dfrac{\sin2\alpha+\sin6\alpha}{\cos2\alpha+\cos6\alpha}=\mathrm{tg}\,4\alpha\)
\[ \frac{\sin2\alpha+\sin6\alpha}{\cos2\alpha+\cos6\alpha} = \frac{2\sin4\alpha\cos(-2\alpha)}{2\cos4\alpha\cos(-2\alpha)} = \frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \mathrm{tg}\,4\alpha. \]
Здесь учтено, что \(\cos(-2\alpha)=\cos2\alpha\). Тождество доказано при \(\cos2\alpha\ne0\), \(\cos4\alpha\ne0\).
б) \(\dfrac{\cos2\alpha-\cos4\alpha}{\cos2\alpha+\cos4\alpha}=\mathrm{tg}\,3\alpha\,\mathrm{tg}\,\alpha\)
\[ \frac{\cos2\alpha-\cos4\alpha}{\cos2\alpha+\cos4\alpha} = \frac{-2\sin3\alpha\sin(-\alpha)}{2\cos3\alpha\cos(-\alpha)} \] \[ = \frac{2\sin3\alpha\sin\alpha}{2\cos3\alpha\cos\alpha} = \mathrm{tg}\,3\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\alpha. \]
Тождество доказано при \(\cos3\alpha\ne0\), \(\cos\alpha\ne0\).
№ 197
а)
\[ \frac{\cos68^\circ-\cos22^\circ}{\sin68^\circ-\sin22^\circ} = \frac{-2\sin45^\circ\sin23^\circ}{2\sin23^\circ\cos45^\circ} = -\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ} = -\mathrm{tg}\,45^\circ = -1. \]
Ответ: \(-1\).
б)
\[ \frac{\sin130^\circ+\sin110^\circ}{\cos130^\circ+\cos110^\circ} = \frac{2\sin120^\circ\cos10^\circ}{2\cos120^\circ\cos10^\circ} = \frac{\sin120^\circ}{\cos120^\circ} = \mathrm{tg}\,120^\circ. \]
А \(\mathrm{tg}\,120^\circ=-\sqrt3\).
Ответ: \(-\sqrt3\).
Проверка по знаку: в пункте 197а числитель отрицательный, знаменатель положительный, поэтому ответ должен быть отрицательным — так и получилось. В пункте 197б знаменатель отрицательный, числитель положительный, значит ответ отрицательный: \(-\sqrt3\).
