Номер 529
Сверь числа и знаки с фото.
529 Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
Краткий ответ: площадь сечения равна \(64\ \text{см}^2\).
Как рассуждать:
Плоскость параллельна оси цилиндра, поэтому сечение — прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра: \[ H=8\ \text{см}. \]
Другая сторона прямоугольника — хорда окружности основания. Расстояние от центра окружности до этой хорды равно расстоянию от оси цилиндра до секущей плоскости: \[ d=3\ \text{см},\qquad R=5\ \text{см}. \]
Радиус, проведённый к концу хорды, образует прямоугольный треугольник. Если половина хорды равна \(x\), то по теореме Пифагора: \[ x^2+3^2=5^2, \] \[ x^2=25-9=16, \] \[ x=4\ \text{см}. \] Значит, вся хорда: \[ a=2x=8\ \text{см}. \]
Площадь прямоугольного сечения: \[ S=H\cdot a=8\cdot 8=64\ \text{см}^2. \]
Проверка: \(3<5\), значит плоскость действительно пересекает основания цилиндра, и сечение имеет размеры \(8\) см на \(8\) см.
