вариант 1,1

Вариант 2, задание 7 (по фото):

\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=27 \quad\Rightarrow\quad x=-1 \]

Краткий ответ: \(x=-1\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(3\): \[ \frac13=3^{-1},\qquad 27=3^3. \]

2. Тогда \[ \left(3^{-1}\right)^{2x-1}=3^3, \] \[ 3^{-(2x-1)}=3^3. \]

3. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -(2x-1)=3. \]

4. Раскрываем скобки: \[ -2x+1=3, \] \[ -2x=2, \] \[ x=-1. \]

Проверка: \[ 2\cdot(-1)-1=-3, \] \[ \left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27. \] Верно.

Принцип: \(\frac1a=a^{-1}\), поэтому дробное основание удобно переписать со степенью \(-1\), затем приравнять показатели.

Вариант 2, задание 8 (по фото):

\[ \log_3(2x+1)=3 \quad\Rightarrow\quad x=13 \]

Краткий ответ: \(x=13\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 2x+1>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac12. \]

2. По определению логарифма: \[ 2x+1=3^3. \]

3. Считаем: \[ 2x+1=27, \] \[ 2x=26, \] \[ x=13. \]

4. Проверяем условие \(x>-\frac12\): число \(13\) подходит.

Проверка: \[ \log_3(2\cdot13+1)=\log_3 27=\log_3 3^3=3. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\), после чего нужно проверить, что найденный корень входит в область допустимых значений \(f(x)>0\).

Вариант 2, задание 9 (по фото):

\[ \log_5(7-2x)=\log_5 2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac52=2{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=\frac52\), или \(x=2{,}5\).

Как решать:

1. Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 7-2x>0 \quad\Rightarrow\quad x<3{,}5. \]

2. Основания логарифмов одинаковые, значит, равны и аргументы: \[ 7-2x=2. \]

3. Решаем уравнение: \[ -2x=2-7, \] \[ -2x=-5, \] \[ x=\frac52=2{,}5. \]

4. Проверяем условие \(x<3{,}5\): число \(2{,}5\) подходит.

Проверка: \[ 7-2\cdot2{,}5=7-5=2, \] поэтому \[ \log_5(7-2x)=\log_5 2. \] Верно.

Принцип: если \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), то при \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных аргументах можно приравнять аргументы: \[ f(x)=g(x). \] После решения обязательно проверяем область допустимых значений.

Вариант 3, задание 1 (по фото):

\[ \frac{1}{4x-3}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac45=0{,}8 \]

Краткий ответ: \(x=\frac45\), или \(x=0{,}8\).

Как решать:

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: \[ 4x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac34. \]

2. Умножим обе части на \(4x-3\): \[ 1=5(4x-3). \]

3. Раскроем скобки: \[ 1=20x-15. \]

4. Перенесём число: \[ 20x=16, \] \[ x=\frac{16}{20}=\frac45. \]

Проверка: \[ 4\cdot\frac45-3=\frac{16}{5}-\frac{15}{5}=\frac15, \] тогда \[ \frac{1}{1/5}=5. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(\frac{1}{A}=c\) решается умножением обеих частей на \(A\) при условии \(A\ne0\); найденный корень не должен обращать знаменатель в ноль.

Вариант 3, задание 2 (по фото):

\[ (2x-5)^7=128 \quad\Rightarrow\quad x=\frac72=3{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=\frac72\), или \(x=3{,}5\).

Как решать:

1. Заметим, что \(128=2^7\). Тогда уравнение можно записать так: \[ (2x-5)^7=2^7. \]

2. Степень нечётная (седьмая), поэтому из равенства степеней следует равенство самих чисел: \[ 2x-5=2. \]

3. Отсюда \[ 2x=7, \] \[ x=\frac72. \]

Проверка: \[ 2\cdot\frac72-5=7-5=2, \] \[ 2^7=128. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(A^n=B^n\) при нечётном \(n\) решается так: \(A=B\). Для чётной степени было бы два случая: \(A=B\) и \(A=-B\).

Вариант 3, задание 3 (по фото):

\[ \sqrt{5x+6}=4 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]

Краткий ответ: \(x=2\).

Как решать:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 5x+6\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac65. \]

2. Обе части неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат: \[ 5x+6=16. \]

3. Решаем: \[ 5x=10, \] \[ x=2. \]

4. Проверяем условие \(x\ge-\frac65\): число \(2\) подходит.

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot2+6}=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt{A}=c\) при \(c\ge0\) решается возведением в квадрат: \(A=c^2\). После этого проверяем, что найденный корень не делает подкоренное выражение отрицательным.

Вариант 3, задание 4 (по фото):

\[ \sqrt[3]{4x+3}=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{11}{4}=-2{,}75 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac{11}{4}\), или \(x=-2{,}75\).

Как решать:

1. Возводим обе части в куб. Для кубического корня подкоренное выражение может быть любым, в том числе отрицательным: \[ 4x+3=(-2)^3. \]

2. Считаем: \[ 4x+3=-8, \] \[ 4x=-11, \] \[ x=-\frac{11}{4}. \]

Проверка: \[ 4\cdot\left(-\frac{11}{4}\right)+3=-11+3=-8, \] \[ \sqrt[3]{-8}=-2. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt[n]{A}=c\) решается возведением в \(n\)-ю степень: \(A=c^n\). Важно, что при нечётном \(n\) знак правой части сохраняется (здесь \(c=-2\), и это нормально), а при чётном \(n\) нужны условия \(c\ge0\) и \(A\ge0\).

Вариант 3, задание 5:

\[ 4^{2x+1}=64 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]

Краткий ответ: \(x=1\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(4\). Так как \[ 64=4^3, \] получаем: \[ 4^{2x+1}=4^3. \]

2. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ 2x+1=3. \]

3. Отсюда \[ 2x=2, \] \[ x=1. \]

Проверка: \[ 4^{2\cdot1+1}=4^3=64. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) при \(a>0\), \(a\ne1\) сводится к равенству показателей: \[ f(x)=g(x). \] Главное — представить правую часть как степень того же основания.

Вариант 3, задание 6 (по фото):

\[ 5^{2x+5}=25^{3x} \quad\Rightarrow\quad x=\frac54=1{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=\frac54\), или \(x=1{,}25\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(5\). Так как \(25=5^2\), получаем: \[ 25^{3x}=(5^2)^{3x}=5^{6x}. \]

2. Уравнение принимает вид: \[ 5^{2x+5}=5^{6x}. \]

3. Основания одинаковые, значит, равны и показатели: \[ 2x+5=6x. \]

4. Отсюда \[ 5=6x-2x, \] \[ 5=4x, \] \[ x=\frac54. \]

Проверка: \[ 5^{2\cdot\frac54+5}=5^{\frac52+5}=5^{\frac{15}{2}}, \] \[ 25^{3\cdot\frac54}=(5^2)^{\frac{15}{4}}=5^{\frac{15}{2}}. \] Равенство верное.

Принцип: сначала приводим обе степени к одному основанию, затем приравниваем показатели. Здесь важно правильно раскрыть \((5^2)^{3x}=5^{6x}\).

Вариант 3, задание 7:

\[ \left(\frac12\right)^{4x+3}=16 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac74=-1{,}75 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac74\), или \(x=-1{,}75\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(2\). Так как \[ \frac12=2^{-1},\qquad 16=2^4, \] получаем: \[ \left(2^{-1}\right)^{4x+3}=2^4. \]

2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 2^{-(4x+3)}=2^4. \]

3. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -(4x+3)=4. \]

4. Раскрываем скобки и решаем: \[ -4x-3=4, \] \[ -4x=7, \] \[ x=-\frac74. \]

Проверка: \[ 4\cdot\left(-\frac74\right)+3=-7+3=-4, \] тогда \[ \left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16. \] Верно.

Принцип: дробное основание \(\frac1a\) записываем как \(a^{-1}\), правую часть — как степень того же основания, затем приравниваем показатели. Следи за знаком минус: он относится ко всему показателю \(4x+3\).

Вариант 3, задание 8:

\[ \log_5(4x-2)=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{27}{4}=6{,}75 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{27}{4}\), или \(x=6{,}75\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 4x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac12. \]

2. По определению логарифма \(\log_a b=c \Leftrightarrow b=a^c\): \[ 4x-2=5^2. \]

3. Считаем: \[ 4x-2=25, \] \[ 4x=27, \] \[ x=\frac{27}{4}. \]

4. Проверяем условие \(x>\frac12\): число \(6{,}75\) подходит.

Проверка: \[ 4\cdot\frac{27}{4}-2=27-2=25, \] \[ \log_5 25=\log_5 5^2=2. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\). Не забывай про \(f(x)>0\): найденный корень должен попадать в область допустимых значений.

Вариант 3, задание 9:

\[ \log_2(4x+3)=\log_2 8 \quad\Rightarrow\quad x=\frac54=1{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=\frac54\), или \(x=1{,}25\).

Как решать:

1. Найдём область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 4x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac34. \]

2. У логарифмов одинаковые основания, поэтому приравниваем аргументы: \[ 4x+3=8. \]

3. Решаем: \[ 4x=8-3, \] \[ 4x=5, \] \[ x=\frac54. \]

4. Проверяем условие \(x>-\frac34\): число \(\frac54\) подходит.

Проверка: \[ 4\cdot\frac54+3=5+3=8, \] поэтому \[ \log_2(4x+3)=\log_2 8. \] Верно.

Принцип: при равенстве логарифмов с одинаковым основанием можно приравнять их аргументы, но нужно проверить, что аргументы положительны.

Вариант 4, задание 1:

\[ \frac{1}{2x-7}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{15}{4}=3{,}75 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{15}{4}\), или \(x=3{,}75\).

Как решать:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ 2x-7\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac72. \]

2. Умножим обе части на \(2x-7\): \[ 1=2(2x-7). \]

3. Раскроем скобки: \[ 1=4x-14. \]

4. Перенесём число: \[ 4x=15, \] \[ x=\frac{15}{4}. \]

Проверка: \[ 2\cdot\frac{15}{4}-7=\frac{15}{2}-7=\frac12, \] тогда \[ \frac{1}{1/2}=2. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(\frac{1}{A}=c\) решается умножением обеих частей на \(A\) при условии \(A\ne0\); найденный корень не должен обращать знаменатель в ноль — здесь \(x=\frac{15}{4}\ne\frac72\), поэтому подходит.

По фото это задание №2:

\[ 3^{0{,}5}\cdot 9^{1{,}25}=27 \]

Краткий ответ: \(27\).

Как решать:

1. Переведём десятичные показатели в дроби: \[ 0{,}5=\frac12,\qquad 1{,}25=\frac54. \]

2. Представим \(9\) как \(3^2\): \[ 9^{1{,}25}=(3^2)^{\frac54}=3^{2\cdot\frac54}=3^{\frac52}. \]

3. Тогда: \[ 3^{\frac12}\cdot3^{\frac52}=3^{\frac12+\frac52}=3^3=27. \]

Проверка: \(\sqrt3\cdot9\sqrt3=9\cdot3=27\).

Вижу, вы прислали всю таблицу. Исправляю предыдущий ответ: в варианте 4, задании 2 на фото стоит не то выражение, которое я разобрал.

\[ (4x+3)^3=64 \quad\Rightarrow\quad x=\frac14=0{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=\frac14\), или \(x=0{,}25\).

Как решать:

1. Замечаем, что \[ 64=4^3. \]

2. Получаем: \[ (4x+3)^3=4^3. \]

3. Степень нечётная, поэтому можно приравнять основания: \[ 4x+3=4. \]

4. Отсюда \[ 4x=1, \] \[ x=\frac14. \]

Проверка: \[ 4\cdot\frac14+3=1+3=4, \] \[ 4^3=64. \] Верно.

Вариант 4, задание 3 (по фото):

\[ \sqrt{2x+13}=6 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{23}{2}=11{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{23}{2}\), или \(x=11{,}5\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 2x+13\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac{13}{2}. \]

2. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: \[ 2x+13=36. \]

3. Решаем: \[ 2x=36-13, \] \[ 2x=23, \] \[ x=\frac{23}{2}. \]

4. Проверяем условие \(x\ge-\frac{13}{2}\): число \(11{,}5\) подходит.

Проверка: \[ \sqrt{2\cdot\frac{23}{2}+13}=\sqrt{23+13}=\sqrt{36}=6. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt{A}=c\) при \(c\ge0\) решается возведением в квадрат: \(A=c^2\), после чего проверяем, что найденный корень не делает подкоренное выражение отрицательным.

Вариант 4, задание 4 (по фото):

\[ \sqrt[3]{5x-6}=4 \quad\Rightarrow\quad x=14 \]

Краткий ответ: \(x=14\).

Как решать:

1. Возведём обе части уравнения в куб. Для кубического корня подкоренное выражение может быть любым, ограничений нет: \[ 5x-6=4^3. \]

2. Считаем: \[ 5x-6=64. \]

3. Переносим число: \[ 5x=64+6, \] \[ 5x=70, \] \[ x=14. \]

Проверка: \[ 5\cdot14-6=70-6=64, \] \[ \sqrt[3]{64}=4. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt[n]{A}=c\) решается возведением обеих частей в \(n\)-ю степень: \(A=c^n\). При нечётном \(n\) (здесь \(n=3\)) знак правой части может быть любым, а проверка области допустимых значений не требуется.

Вариант 4, задание 5 (по фото):

\[ 3^{4x-2}=81 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32=1{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=\frac32\), или \(x=1{,}5\).

Как решать:

1. Представим правую часть в виде степени с основанием \(3\): \[ 81=3^4. \]

2. Получаем уравнение с одинаковыми основаниями: \[ 3^{4x-2}=3^4. \]

3. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ 4x-2=4. \]

4. Отсюда \[ 4x=6, \] \[ x=\frac64=\frac32. \]

Проверка: \[ 4\cdot\frac32-2=6-2=4, \] \[ 3^4=81. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) при \(a>0\), \(a\ne1\) сводится к равенству показателей \(f(x)=g(x)\). Сначала приводим обе части к одному основанию.

Вариант 4, задание 6:

\[ 4^{x-6}=16^{2x} \quad\Rightarrow\quad x=-2 \]

Краткий ответ: \(x=-2\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(4\). Так как \(16=4^2\), то \[ 16^{2x}=(4^2)^{2x}=4^{4x}. \]

2. Получаем: \[ 4^{x-6}=4^{4x}. \]

3. Основания одинаковые, значит, равны и показатели: \[ x-6=4x. \]

4. Отсюда \[ -6=4x-x, \] \[ -6=3x, \] \[ x=-2. \]

Проверка: \[ 4^{-2-6}=4^{-8}, \] \[ 16^{2\cdot(-2)}=16^{-4}=(4^2)^{-4}=4^{-8}. \] Равенство верное.

Принцип: степени с разными основаниями приводим к одному основанию, используя \((a^m)^n=a^{mn}\), затем приравниваем показатели.

Вариант 4, задание 7 (по фото):

\[ \left(\frac17\right)^{5x-2}=49 \quad\Rightarrow\quad x=0 \]

Краткий ответ: \(x=0\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(7\): \[ \frac17=7^{-1},\qquad 49=7^2. \]

2. Получаем: \[ \left(7^{-1}\right)^{5x-2}=7^2. \]

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 7^{-(5x-2)}=7^2. \]

4. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -(5x-2)=2. \]

5. Раскрываем скобки и решаем: \[ -5x+2=2, \] \[ -5x=0, \] \[ x=0. \]

Проверка: \[ 5\cdot0-2=-2, \] тогда \[ \left(\frac17\right)^{-2}=7^2=49. \] Верно.

Принцип: дробное основание \(\frac1a\) записываем как \(a^{-1}\), правую часть — как степень того же основания. После приведения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) приравниваем показатели.

Вариант 4, задание 8 (по фото):

\[ \log_4(5x+3)=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{5}=2{,}6 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{13}{5}\), или \(x=2{,}6\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 5x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac35. \]

2. По определению логарифма \(\log_a b=c \Leftrightarrow b=a^c\): \[ 5x+3=4^2. \]

3. Считаем: \[ 5x+3=16, \] \[ 5x=13, \] \[ x=\frac{13}{5}. \]

4. Проверяем условие \(x>-\frac35\): число \(2{,}6\) подходит.

Проверка: \[ 5\cdot\frac{13}{5}+3=13+3=16, \] а \(\log_4 16=\log_4 4^2=2\). Верно.

Главное: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\); затем проверяем, что найденный корень входит в область допустимых значений \(f(x)>0\).

По фото всё совпадает: в варианте 4, задании 8 стоит

\[ \log_4(5x+3)=2, \]

и мой ответ верный:

\[ x=\frac{13}{5}=2{,}6. \]

Коротко проверка:

• ОДЗ: \(5x+3>0\Rightarrow x>-\frac35\);
• по определению логарифма \(5x+3=4^2=16\), откуда \(5x=13\);
• подстановка: \(5\cdot\frac{13}{5}+3=13+3=16\), а \(\log_4 16=2\) — верно.

Следующее по порядку — 4,9: \(\log_7(6-5x)=\log_7 9\). Скажи «4,9», и разберу его так же.

Вариант 4, задание 9:

\[ \log_7(6-5x)=\log_7 9 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac35=-0{,}6 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac35\), или \(x=-0{,}6\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 6-5x>0 \quad\Rightarrow\quad x<\frac65. \]

2. Основания логарифмов одинаковые, поэтому приравниваем аргументы: \[ 6-5x=9. \]

3. Решаем: \[ -5x=9-6, \] \[ -5x=3, \] \[ x=-\frac35. \]

4. Проверяем условие \(x<\frac65\): число \(-0{,}6\) подходит.

Проверка: \[ 6-5\cdot\left(-\frac35\right)=6+3=9, \] поэтому \[ \log_7(6-5x)=\log_7 9. \] Верно.

Принцип: если \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), то при \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных аргументах можно приравнять аргументы: \[ f(x)=g(x). \] После решения обязательно проверяем, что аргумент логарифма положителен.

Вариант 5, задание 1:

\[ \frac{1}{5x-4}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{17}{20}=0{,}85 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{17}{20}\), или \(x=0{,}85\).

Как решать:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ 5x-4\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac45. \]

2. Умножим обе части уравнения на \(5x-4\): \[ 1=4(5x-4). \]

3. Раскроем скобки: \[ 1=20x-16. \]

4. Перенесём число: \[ 20x=17, \] \[ x=\frac{17}{20}. \]

Проверка: \[ 5\cdot\frac{17}{20}-4=\frac{85}{20}-\frac{80}{20}=\frac{5}{20}=\frac14. \] Тогда \[ \frac{1}{1/4}=4. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(\frac{1}{A}=c\) решается умножением обеих частей на \(A\) при условии \(A\ne0\); затем проверяем, что корень не обращает знаменатель в ноль.

Вариант 5, задание 2 (по фото):

\[ (5x-2)^5=-243 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac15=-0{,}2 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac15\), или \(x=-0{,}2\).

Как решать:

1. Заметим, что \[ 243=3^5, \] поэтому \[ -243=(-3)^5. \]

2. Получаем: \[ (5x-2)^5=(-3)^5. \]

3. Степень нечётная — пятая, поэтому из равенства степеней следует равенство самих чисел: \[ 5x-2=-3. \]

4. Отсюда \[ 5x=-3+2=-1, \] \[ x=-\frac15. \]

Проверка: \[ 5\cdot\left(-\frac15\right)-2=-1-2=-3, \] \[ (-3)^5=-243. \] Верно.

Принцип: при нечётной степени \(n\) уравнение \(A^n=B^n\) даёт \(A=B\), знак сохраняется. Если бы степень была чётной, были бы два случая: \(A=B\) и \(A=-B\).

Вариант 5, задание 3 (по фото):

\[ \sqrt{4x+10}=3 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac14=-0{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac14\), или \(x=-0{,}25\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: подкоренное выражение неотрицательно: \[ 4x+10\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac52. \]

2. Возводим обе части в квадрат: \[ 4x+10=3^2, \] \[ 4x+10=9. \]

3. Решаем: \[ 4x=9-10, \] \[ 4x=-1, \] \[ x=-\frac14. \]

4. Проверяем ОДЗ: \(-\frac14\ge-\frac52\) — подходит.

Проверка: \[ \sqrt{4\left(-\frac14\right)+10}=\sqrt{-1+10}=\sqrt9=3. \] Верно.

Вариант 5, задание 4 (по фото):

\[ \sqrt[3]{8x+1}=-3 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac72=-3{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac72\), или \(x=-3{,}5\).

Как решать:

1. Возведём обе части уравнения в куб. Для кубического корня подкоренное выражение может быть любым, в том числе отрицательным: \[ 8x+1=(-3)^3. \]

2. Считаем: \[ 8x+1=-27. \]

3. Переносим число: \[ 8x=-27-1, \] \[ 8x=-28, \] \[ x=-\frac{28}{8}=-\frac72. \]

Проверка: \[ 8\cdot\left(-\frac72\right)+1=-28+1=-27, \] \[ \sqrt[3]{-27}=-3. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt[n]{A}=c\) решается возведением обеих частей в \(n\)-ю степень: \(A=c^n\). При нечётном \(n\) знак правой части сохраняется, поэтому отрицательный ответ здесь нормален.

Вариант 5, задание 5 (по фото):

\[ 2^{5x+3}=16 \quad\Rightarrow\quad x=\frac15=0{,}2 \]

Краткий ответ: \(x=\frac15\), или \(x=0{,}2\).

Как решать:

1. Представим \(16\) как степень с основанием \(2\): \[ 16=2^4. \]

2. Получим: \[ 2^{5x+3}=2^4. \]

3. Основания одинаковые, значит, равны и показатели: \[ 5x+3=4. \]

4. Отсюда: \[ 5x=1, \] \[ x=\frac15. \]

Проверка: \[ 2^{5\cdot\frac15+3}=2^{1+3}=2^4=16. \] Верно.

Вариант 5, задание 6 (по фото):

\[ 7^{2x-4}=49^x \]

Краткий ответ: корней нет.

Как решать:

1. Приведём правую часть к основанию \(7\): \[ 49=7^2, \] поэтому \[ 49^x=(7^2)^x=7^{2x}. \]

2. Получаем: \[ 7^{2x-4}=7^{2x}. \]

3. Основания равны, значит, должны быть равны показатели: \[ 2x-4=2x. \]

4. Отсюда \[ -4=0, \] что невозможно. Значит, уравнение не имеет решений.

Проверка: для любого \(x\) \[ 7^{2x-4}=\frac{7^{2x}}{7^4}, \] а это не может быть равно \(7^{2x}\).

Принцип: если после приравнивания показателей получается неверное числовое равенство, то уравнение не имеет корней.

Вариант 5, задание 7 (по фото):

\[ \left(\frac14\right)^{2x+5}=64 \quad\Rightarrow\quad x=-4 \]

Краткий ответ: \(x=-4\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(2\): \[ \frac14=2^{-2},\qquad 64=2^6. \]

2. Получаем: \[ \left(2^{-2}\right)^{2x+5}=2^6. \]

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 2^{-2(2x+5)}=2^6, \] \[ 2^{-4x-10}=2^6. \]

4. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -4x-10=6. \]

5. Решаем: \[ -4x=16, \] \[ x=-4. \]

Проверка: \[ 2\cdot(-4)+5=-8+5=-3, \] тогда \[ \left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64. \] Верно.

Принцип: дробное основание \(\frac1a\) записываем как \(a^{-1}\), а правую часть — как степень того же основания. Затем приравниваем показатели.

Вариант 5, задание 8 (по фото):

\[ \log_2(4x+3)=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac58=-0{,}625 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac58\), или \(x=-0{,}625\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 4x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac34. \]

2. По определению логарифма \(\log_a b=c \Leftrightarrow b=a^c\): \[ 4x+3=2^{-1}. \]

3. Так как \(2^{-1}=\frac12\), получаем: \[ 4x+3=\frac12. \]

4. Решаем: \[ 4x=\frac12-3=-\frac52, \] \[ x=-\frac{5}{8}. \]

5. Проверяем ОДЗ: \(-\frac58>-\frac34\), то есть \(-0{,}625>-0{,}75\) — подходит.

Проверка: \[ 4\cdot\left(-\frac58\right)+3=-\frac52+3=\frac12, \] \[ \log_2\frac12=\log_2 2^{-1}=-1. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\). Если \(c\) отрицательное, справа получится дробь — это нормально, главное потом проверить \(f(x)>0\).

Вариант 5, задание 9 (по фото):

\[ \log_4(3-8x)=\log_4 5 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac14=-0{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac14\), или \(x=-0{,}25\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 3-8x>0 \quad\Rightarrow\quad x<\frac38. \]

2. Основания логарифмов одинаковые, значит, равны и аргументы: \[ 3-8x=5. \]

3. Решаем: \[ -8x=5-3, \] \[ -8x=2, \] \[ x=-\frac14. \]

4. Проверяем условие \(x<\frac38\): число \(-0{,}25\) подходит.

Проверка: \[ 3-8\cdot\left(-\frac14\right)=3+2=5, \] поэтому \[ \log_4(3-8x)=\log_4 5. \] Верно.

Принцип: если \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), то при \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных аргументах приравниваем аргументы: \[ f(x)=g(x). \] После решения обязательно проверяем, что аргумент логарифма остался положительным.

Вариант 6, задание 1:

\[ \frac{1}{5x-6}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{10}=1{,}3 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{13}{10}\), или \(x=1{,}3\).

Как решать:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ 5x-6\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac65. \]

2. Умножим обе части уравнения на \(5x-6\): \[ 1=2(5x-6). \]

3. Раскроем скобки: \[ 1=10x-12. \]

4. Перенесём число: \[ 10x=13, \] \[ x=\frac{13}{10}. \]

Проверка: \[ 5\cdot\frac{13}{10}-6=6{,}5-6=0{,}5=\frac12. \] Тогда \[ \frac{1}{1/2}=2. \] Равенство верное.

Принцип: уравнение вида \(\frac{1}{A}=c\) решается умножением обеих частей на \(A\), при условии \(A\ne0\).

Вариант 6, задание 2 (по фото):

\[ (2x+6)^7=-128 \quad\Rightarrow\quad x=-4 \]

Краткий ответ: \(x=-4\).

Как решать:

1. Заметим, что \[ 128=2^7, \] поэтому \[ -128=(-2)^7. \]

2. Получаем: \[ (2x+6)^7=(-2)^7. \]

3. Степень нечётная — седьмая, поэтому можно приравнять сами основания: \[ 2x+6=-2. \]

4. Отсюда \[ 2x=-8, \] \[ x=-4. \]

Проверка: \[ 2\cdot(-4)+6=-8+6=-2, \] \[ (-2)^7=-128. \] Верно.

Принцип: при нечётной степени уравнение \(A^n=B^n\) даёт \(A=B\), знак сохраняется. При чётной степени было бы два случая: \(A=B\) и \(A=-B\).

Вариант 6, задание 3 (по фото):

\[ \sqrt{10x-8}=7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{57}{10}=5{,}7 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{57}{10}\), или \(x=5{,}7\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 10x-8\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac45=0{,}8. \]

2. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат: \[ 10x-8=7^2, \] \[ 10x-8=49. \]

3. Решаем: \[ 10x=49+8, \] \[ 10x=57, \] \[ x=\frac{57}{10}. \]

4. Проверяем условие \(x\ge\frac45\): число \(5{,}7\) подходит.

Проверка: \[ \sqrt{10\cdot5{,}7-8}=\sqrt{57-8}=\sqrt{49}=7. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt{A}=c\) при \(c\ge0\) решается возведением в квадрат: \(A=c^2\). После этого проверяем, что найденный корень входит в область допустимых значений \(A\ge0\).

Вариант 6, задание 4 (по фото):

\[ \sqrt[3]{10x-2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]

Краткий ответ: \(x=1\).

Как решать:

1. Возведём обе части уравнения в куб. Для кубического корня ограничений на подкоренное выражение нет: \[ 10x-2=2^3. \]

2. Считаем: \[ 10x-2=8, \] \[ 10x=10, \] \[ x=1. \]

Проверка: \[ \sqrt[3]{10\cdot1-2}=\sqrt[3]{8}=2. \] Верно.

Вариант 6, задание 5 (по фото):

\[ 10^{2x+5}=1000 \quad\Rightarrow\quad x=-1 \]

Краткий ответ: \(x=-1\).

Как решать:

1. Представим правую часть в виде степени с основанием \(10\): \[ 1000=10^3. \]

2. Получаем уравнение с одинаковыми основаниями: \[ 10^{2x+5}=10^3. \]

3. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ 2x+5=3. \]

4. Решаем: \[ 2x=3-5, \] \[ 2x=-2, \] \[ x=-1. \]

Проверка: \[ 10^{2\cdot(-1)+5}=10^{-2+5}=10^3=1000. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) при \(a>0\), \(a\ne1\) сводится к равенству показателей: \[ f(x)=g(x). \] Сначала приводим обе части к одному основанию, затем приравниваем показатели.

Вариант 6, задание 6:

\[ 2^{4x-3}=8^{2x} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32=-1{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac32\), или \(x=-1{,}5\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(2\). Так как \(8=2^3\), то \[ 8^{2x}=(2^3)^{2x}=2^{6x}. \]

2. Получаем: \[ 2^{4x-3}=2^{6x}. \]

3. Основания одинаковые, значит, равны и показатели: \[ 4x-3=6x. \]

4. Решаем: \[ -3=6x-4x, \] \[ -3=2x, \] \[ x=-\frac32. \]

Проверка: \[ 2^{4\cdot(-\frac32)-3}=2^{-6-3}=2^{-9}, \] \[ 8^{2\cdot(-\frac32)}=8^{-3}=(2^3)^{-3}=2^{-9}. \] Равенство верное.

Принцип: степени с разными основаниями приводим к одному основанию по формуле \((a^m)^n=a^{mn}\), затем приравниваем показатели.

Вариант 6, задание 7 (по фото):

\[ \left(\frac{1}{10}\right)^{5x+1}=1000 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac45=-0{,}8 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac45\), или \(x=-0{,}8\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(10\): \[ \frac{1}{10}=10^{-1},\qquad 1000=10^3. \]

2. Получаем: \[ \left(10^{-1}\right)^{5x+1}=10^3. \]

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 10^{-(5x+1)}=10^3. \]

4. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -(5x+1)=3. \]

5. Раскрываем скобки: \[ -5x-1=3, \] \[ -5x=4, \] \[ x=-\frac45. \]

Проверка: \[ 5\cdot\left(-\frac45\right)+1=-4+1=-3, \] тогда \[ \left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=10^3=1000. \] Верно.

Вариант 6, задание 8 (по фото):

\[ \log_{10}(2x-5)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]

Краткий ответ: \(x=3\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 2x-5>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac52=2{,}5. \]

2. По определению логарифма \(\log_a b=c \Leftrightarrow b=a^c\). Здесь основание \(10\), поэтому: \[ 2x-5=10^0. \]

3. Так как \(10^0=1\), получаем: \[ 2x-5=1. \]

4. Решаем: \[ 2x=6, \] \[ x=3. \]

5. Проверяем условие \(x>2{,}5\): число \(3\) подходит.

Проверка: \[ 2\cdot3-5=1, \] \[ \log_{10}1=0. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\). Полезно помнить: \(\log_a 1=0\) при любом допустимом \(a>0\), \(a\ne1\).

Вариант 6, задание 9 (по фото):

\[ \log_{10}(10x-7)=\log_{10}6 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{10}=1{,}3 \]

Краткий ответ: \(x=\frac{13}{10}\), или \(x=1{,}3\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 10x-7>0 \quad\Rightarrow\quad x>0{,}7. \]

2. Основания логарифмов одинаковые, значит, равны и аргументы: \[ 10x-7=6. \]

3. Решаем: \[ 10x=13, \] \[ x=\frac{13}{10}. \]

4. Проверяем условие \(x>0{,}7\): число \(1{,}3\) подходит.

Проверка: \[ 10\cdot1{,}3-7=13-7=6, \] поэтому \[ \log_{10}(10x-7)=\log_{10}6. \] Верно.

Принцип: если \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), то при \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных аргументах приравниваем аргументы: \[ f(x)=g(x). \] После решения проверяем, что аргумент логарифма остался положительным.

Вариант 7, задание 1 (по фото):

\[ \frac{1}{2x-3}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac85=1{,}6 \]

Краткий ответ: \(x=\frac85\), или \(x=1{,}6\).

Как решать:

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: \[ 2x-3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac32. \]

2. Умножим обе части на \(2x-3\): \[ 1=5(2x-3). \]

3. Раскроем скобки: \[ 1=10x-15. \]

4. Перенесём число: \[ 10x=16, \] \[ x=\frac85. \]

Проверка: \[ 2\cdot\frac85-3=\frac{16}{5}-\frac{15}{5}=\frac15, \] тогда \[ \frac{1}{1/5}=5. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\frac{1}{A}=c\) решается умножением обеих частей на \(A\) при условии \(A\ne0\).

Кстати, остальные задания варианта 7 уже встречались в этой таблице, так что мы их разобрали: 7.2 совпадает с 2.2, 7.3 — с 3.3, 7.4 — с 4.4, 7.5 — с 5.5, 7.6 — с 6.6, 7.7 — с 1.7, 7.8 — с 2.8, 7.9 — с 3.9. Если нужно, могу собрать ответы варианта 7 отдельным списком для проверки.

Вариант 7, задание 2 (по фото):

\[ (x+7)^5=243 \quad\Rightarrow\quad x=-4 \]

Краткий ответ: \(x=-4\).

Как решать:

1. Заметим, что \[ 243=3^5. \]

2. Тогда уравнение можно записать так: \[ (x+7)^5=3^5. \]

3. Степень нечётная — пятая. Поэтому из равенства степеней следует равенство самих чисел: \[ x+7=3. \]

4. Отсюда \[ x=3-7=-4. \]

Проверка: \[ (-4+7)^5=3^5=243. \] Верно.

Принцип: уравнение вида \(A^n=B^n\) при нечётном \(n\) решается так: \(A=B\). Для чётной степени было бы два случая: \(A=B\) и \(A=-B\). Здесь \(n=5\), поэтому корень один.

Кстати, это задание полностью совпадает с 2.2 из этой же таблицы — там был тот же ответ \(x=-4\).

Вариант 7, задание 3 (по фото):

\[ \sqrt{5x+6}=4 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]

Краткий ответ: \(x=2\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 5x+6\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac65. \]

2. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат: \[ 5x+6=4^2, \] \[ 5x+6=16. \]

3. Решаем: \[ 5x=10, \] \[ x=2. \]

4. Проверяем условие \(x\ge-\frac65\): число \(2\) подходит.

Проверка: \[ \sqrt{5\cdot2+6}=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt{A}=c\) при \(c\ge0\) решается возведением в квадрат: \(A=c^2\). После этого проверяем, что найденный корень не делает подкоренное выражение отрицательным.

Это задание совпадает с 3.3 — ответ тот же: \(x=2\).

Вариант 7, задание 4 (по фото):

\[ \sqrt[3]{5x-6}=4 \quad\Rightarrow\quad x=14 \]

Краткий ответ: \(x=14\).

Как решать:

1. Возведём обе части уравнения в куб. Для кубического корня подкоренное выражение может быть любым, ограничений нет: \[ 5x-6=4^3. \]

2. Считаем: \[ 5x-6=64. \]

3. Переносим число: \[ 5x=64+6, \] \[ 5x=70, \] \[ x=14. \]

Проверка: \[ 5\cdot14-6=70-6=64, \] \[ \sqrt[3]{64}=4. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\sqrt[n]{A}=c\) решается возведением обеих частей в \(n\)-ю степень: \(A=c^n\). При нечётном \(n\) (здесь \(n=3\)) знак правой части может быть любым, а проверка области допустимых значений не нужна.

Вариант 7, задание 5 (по фото):

\[ 2^{5x+3}=16 \quad\Rightarrow\quad x=\frac15=0{,}2 \]

Краткий ответ: \(x=\frac15\), или \(x=0{,}2\).

Как решать:

1. Представим правую часть как степень с основанием \(2\): \[ 16=2^4. \]

2. Получим уравнение с одинаковыми основаниями: \[ 2^{5x+3}=2^4. \]

3. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ 5x+3=4. \]

4. Решаем: \[ 5x=4-3, \] \[ 5x=1, \] \[ x=\frac15. \]

Проверка: \[ 2^{5\cdot\frac15+3}=2^{1+3}=2^4=16. \] Верно.

Это задание совпадает с 5.5 — там был тот же ответ: \(x=0{,}2\).

Вариант 7, задание 6 (по фото):

\[ 2^{4x-3}=8^{2x} \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32=-1{,}5 \]

Краткий ответ: \(x=-\frac32\), или \(x=-1{,}5\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(2\). Так как \(8=2^3\), то \[ 8^{2x}=(2^3)^{2x}=2^{6x}. \]

2. Получаем: \[ 2^{4x-3}=2^{6x}. \]

3. Основания одинаковые, значит, равны и показатели: \[ 4x-3=6x. \]

4. Решаем: \[ -3=6x-4x, \] \[ -3=2x, \] \[ x=-\frac32. \]

Проверка: \[ 2^{4\cdot(-\frac32)-3}=2^{-6-3}=2^{-9}, \] \[ 8^{2\cdot(-\frac32)}=8^{-3}=(2^3)^{-3}=2^{-9}. \] Равенство верное.

Принцип: степени с разными основаниями приводим к одному основанию по формуле \((a^m)^n=a^{mn}\), затем приравниваем показатели.

Это задание совпадает с 6.6 — ответ тот же.

Вариант 7, задание 7 (по фото):

\[ \left(\frac15\right)^{x+3}=25 \quad\Rightarrow\quad x=-5 \]

Краткий ответ: \(x=-5\).

Как решать:

1. Приведём обе части к основанию \(5\): \[ \frac15=5^{-1},\qquad 25=5^2. \]

2. Получаем: \[ \left(5^{-1}\right)^{x+3}=5^2. \]

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 5^{-(x+3)}=5^2. \]

4. Основания равны, значит, равны и показатели: \[ -(x+3)=2. \]

5. Решаем: \[ -x-3=2, \] \[ -x=5, \] \[ x=-5. \]

Проверка: \[ (-5)+3=-2, \] \[ \left(\frac15\right)^{-2}=5^2=25. \] Верно.

Принцип: дробь \(\frac1a\) записываем как \(a^{-1}\), правую часть — как степень того же основания, затем приравниваем показатели. Это задание совпадает с 1.7, ответ тот же: \(x=-5\).

Вариант 7, задание 8 (по фото):

\[ \log_3(2x+1)=3 \quad\Rightarrow\quad x=13 \]

Краткий ответ: \(x=13\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 2x+1>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac12. \]

2. По определению логарифма \(\log_a b=c \Leftrightarrow b=a^c\): \[ 2x+1=3^3. \]

3. Считаем: \[ 2x+1=27, \] \[ 2x=26, \] \[ x=13. \]

4. Проверяем ОДЗ: \(13>-\frac12\) — подходит.

Проверка: \[ 2\cdot13+1=27, \] \[ \log_3 27=\log_3 3^3=3. \] Верно.

Принцип: уравнение \(\log_a f(x)=c\) решается переходом к \(f(x)=a^c\), после чего проверяем \(f(x)>0\).

Это задание совпадает с 2.8 — ответ тот же: \(x=13\).

Вариант 7, задание 9 (по фото):

\[ \log_2(4x+3)=\log_2 8 \quad\Rightarrow\quad x=\frac54=1{,}25 \]

Краткий ответ: \(x=\frac54\), или \(x=1{,}25\).

Как решать:

1. Область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 4x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac34. \]

2. Основания логарифмов одинаковые, значит, приравниваем аргументы: \[ 4x+3=8. \]

3. Решаем: \[ 4x=8-3, \] \[ 4x=5, \] \[ x=\frac54. \]

4. Проверяем условие \(x>-\frac34\): число \(1{,}25\) подходит.

Проверка: \[ 4\cdot\frac54+3=5+3=8, \] \[ \log_2 8=\log_2 2^3=3. \] Равенство верное.

Принцип: если \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\), то при \(a>0\), \(a\ne1\) и положительных аргументах можно приравнять аргументы: \(f(x)=g(x)\). После решения проверяем ОДЗ.

Это задание совпадает с 3.9 — ответ тот же: \(x=1{,}25\). На этом вариант 7 закончился; если нужно, соберу все девять ответов варианта 7 списком.