Ответы
Сверь числа и знаки с фото.
Начальный уровень 1 a) Запишите все простые числа от 40 до 60. b) Запишите все составные числа от 35 до 55. 2 Определите, какими числами являются следующие числа: простыми или составными. a) 87 b) 167 c) 253 d) 329 3 Запишите одинаковые множители в виде степеней. a) \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\) b) \(2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\) c) \(7 \times 4 \times 7 \times 4 \times 7 \times 4 \times 7\) d) \(5 \times 8 \times 8 \times 8 \times 5 \times 5 \times 5\) Средний уровень 4 Разложите следующие числа на простые множители с помощью дерева множителей. Запишите ответ в виде степени. a) 96 b) 144 c) 360 d) 693
b) Площадь прямоугольной доски длиной \(x\) см и шириной \(y\) см равна 195 см², а периметр меньше 100 см. Найдите все возможные целые значения \(x\) и \(y\). [Рукописно: 195 | 3; 65 | 5; 13 | 13; 1. \(x \cdot y = 195\), \(P < 100\). В рамке: \(x = 15\), \(y = 13\).] 12 Произведение возрастов двух друзей равно 780. Возраст каждого из них выражается целым числом больше 16. Какой может быть сумма возрастов двух друзей?
Начальный уровень 1 Найдите наибольший общий делитель чисел. a) 6 и 35 b) 98 и 112 c) 117 и 195 d) 245 и 392 [Рукописно: под a) «6 и 35 → 1», «НОД = 1»; под b) «НОД =».] 2 Найдите НОД чисел. a) 30, 42 и 82 b) 35, 42 и 56 c) 52, 85 и 102 d) 75, 105 и 135 e) 81, 108 и 180 f) 105, 147 и 231
Средний уровень 3 Два числа разложили на простые множители и записали в виде произведения степеней следующим образом: \(2^3 \times 3 \times 5 \times 13^2\) и \(2^2 \times 3^4 \times 7^2 \times 13^2\). Найдите наибольшее натуральное число, на которое оба эти числа делятся без остатка. 4 Найдите наименьшее натуральное число, которое одновременно делится без остатка на 84, 252 и 600. 5 В ёмкость в форме кубоида длиной 90 см, шириной 45 см и высотой 30 см поместили несколько кубов, ребро которых является целым числом (см). a) Какой может быть наибольшая длина ребра куба? b) Каким может быть наибольший объём каждого куба? c) Какое наименьшее число кубов можно поместить в ёмкость? [Рукописно: «Ребро куба»; \(45 = 3^2 \cdot 5\); \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\); \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\); НОД \(= 3 \cdot 5 = 15\).]
6 У Лайло есть ленты, длины которых равны 45 см, 2,4 м и 3,15 м. Лайло хочет разделить их на части равной длины. Какой наибольшей длины может быть каждая часть ленты? 7 Тётя Ситора раздавала пакеты с продуктами детям из лагеря. В каждом пакете было одинаковое число продуктов. Всего у неё было 198 орехов, 297 конфет и 495 шоколадных конфет. a) Каким может быть наибольшее число пакетов? b) Найдите количество шоколадных конфет в каждом пакете, используя ответ из пункта a). c) Тётя Ситора хочет раздать детям 200 яблок. Можно ли разделить яблоки поровну между детьми? Обоснуйте свой ответ.
Коротко: повторяющиеся множители записываем степенью; для НОД берём только общие простые множители с наименьшими показателями, для НОК — все множители с наибольшими показателями.
Страница 2
1. а) \(41, 43, 47, 53, 59\).
б) \(35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55\).
2.
- 87 — составное: \(87=3\cdot29\);
- 167 — простое;
- 253 — составное: \(253=11\cdot23\);
- 329 — составное: \(329=7\cdot47\).
3.
- а) \(2^5\);
- б) \(2^2\cdot3^5\);
- в) \(7^4\cdot4^3\);
- г) \(5^4\cdot8^3\).
4.
- а) \(96=2^5\cdot3\);
- б) \(144=2^4\cdot3^2\);
- в) \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\);
- г) \(693=3^2\cdot7\cdot11\).
Страница 6
b) Площадь: \(xy=195\), периметр: \(2(x+y)<100\).
Пары множителей 195: \((1;195)\), \((3;65)\), \((5;39)\), \((13;15)\).
Периметры: 392, 136, 88, 56. Подходят только последние две.
Если \(x\) — длина, \(y\) — ширина, то: \[ (x,y)=(39,5)\quad \text{или}\quad (15,13). \] Если порядок сторон неважен, добавляются перестановки: \((5,39)\) и \((13,15)\).
12. \(780=20\cdot39=26\cdot30\). Оба возраста больше 16.
Возможные суммы:
\[
20+39=59,\qquad 26+30=56.
\]
Ответ: 56 или 59.
НОД
1.
- а) \(\mathrm{НОД}(6,35)=1\);
- б) \(\mathrm{НОД}(98,112)=14\);
- в) \(\mathrm{НОД}(117,195)=39\);
- г) \(\mathrm{НОД}(245,392)=49\).
2.
- а) 2;
- б) 7;
- в) 1;
- г) 15;
- д) 9;
- е) 21.
Например: \(30=2\cdot3\cdot5\), \(42=2\cdot3\cdot7\), \(82=2\cdot41\). Общий множитель только 2, поэтому НОД равен 2.
Страница 9
3. Берём общие простые множители с наименьшими степенями: \[ \mathrm{НОД}=2^2\cdot3\cdot13^2=2028. \]
4. Ищем наименьшее общее кратное: \[ 84=2^2\cdot3\cdot7,\quad 252=2^2\cdot3^2\cdot7,\quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2. \] \[ \mathrm{НОК}=2^3\cdot3^2\cdot5^2\cdot7=12\,600. \] Если в вашем издании напечатано «наибольшее», это опечатка: у кратных нет наибольшего.
5. Ребро куба должно делить 90, 45 и 30: \[ \mathrm{НОД}(90,45,30)=15\text{ см}. \]
- а) 15 см;
- б) \(15^3=3375\text{ см}^3\);
- в) \(\frac{90}{15}\cdot\frac{45}{15}\cdot\frac{30}{15}=6\cdot3\cdot2=36\) кубов.
Страница 10
6. Переведём в сантиметры: \[ 2{,}4\text{ м}=240\text{ см},\qquad 3{,}15\text{ м}=315\text{ см}. \] \[ \mathrm{НОД}(45,240,315)=15. \] Наибольшая длина каждой части — 15 см.
7. \[ 198=2\cdot3^2\cdot11,\quad 297=3^3\cdot11,\quad 495=3^2\cdot5\cdot11. \] \[ \mathrm{НОД}=3^2\cdot11=99. \]
- а) 99 пакетов;
- б) \(495:99=5\) шоколадных конфет;
- в) нет: \(200=99\cdot2+2\), остаются 2 яблока.
Проверка: \(99\cdot2=198\), \(99\cdot3=297\), \(99\cdot5=495\); а \(36\cdot15^3=121\,500\) — это объём ёмкости.
Обсуждение
4 сообщенияЭто продолжение той же темы: простые множители, квадратные и кубические корни. Ниже ответы с краткими пояснениями.
Начальный уровень
1. Квадратные корни \[ 64=2^6,\quad 225=3^2\cdot5^2,\quad 324=2^2\cdot3^4, \] \[ 576=2^6\cdot3^2,\quad 625=5^4,\quad 1600=2^6\cdot5^2. \] Ответы: \[ \sqrt{64}=8,\quad \sqrt{225}=15,\quad \sqrt{324}=18, \] \[ \sqrt{576}=24,\quad \sqrt{625}=25,\quad \sqrt{1600}=40. \]
2. Кубические корни \[ 27=3^3,\quad 64=2^6,\quad 125=5^3, \] \[ 1000=2^3\cdot5^3,\quad 2744=2^3\cdot7^3,\quad 4096=2^{12}. \] Ответы: \[ \sqrt[3]{27}=3,\quad \sqrt[3]{64}=4,\quad \sqrt[3]{125}=5, \] \[ \sqrt[3]{1000}=10,\quad \sqrt[3]{2744}=14,\quad \sqrt[3]{4096}=16. \]
Страница 21
3. а) \[ 162=2\cdot3^4,\qquad 288=2^5\cdot3^2. \] Тогда \[ 162\cdot288=2^6\cdot3^6=6^6. \]
б) В разложении показатели степени равны 6. Число 6 делится и на 2, и на 3, поэтому \[ 6^6=(6^3)^2=(6^2)^3. \] Значит, число является и полным квадратом, и полным кубом.
4. \[ 240=2^4\cdot3\cdot5,\qquad 450=2\cdot3^2\cdot5^2. \] \[ \mathrm{НОК}(240,450)=2^4\cdot3^2\cdot5^2=3600. \] \[ \sqrt{3600}=60. \]
5. \[ \sqrt[3]{1728}=12\text{ см}. \] Длина ребра — \(12\) см.
Площадь одной грани: \[ 12^2=144\text{ см}^2. \]
Страница 22
6. а) \[ 1250=2\cdot5^4. \]
б) Чтобы \(\frac{1250}{a}\) было полным квадратом, нужно убрать множитель 2: \[ \frac{1250}{2}=625=25^2. \] Ответ: \(a=2\).
7. \[ 360=2^3\cdot3^2\cdot5. \] Чтобы все показатели стали кратны 3, нужно добавить \(3\) и \(5^2\): \[ m=3\cdot5^2=75. \] Проверка: \[ 360\cdot75=27000=30^3. \]
8. а) \[ 3024=2^4\cdot3^3\cdot7. \]
б) 1) \[ 21\cdot3024=2^4\cdot3^4\cdot7^2, \] \[ \sqrt{21\cdot3024}=2^2\cdot3^2\cdot7=252. \]
2) \[ \frac{7\cdot3024}{3}=2^4\cdot3^2\cdot7^2, \] \[ \sqrt{\frac{7\cdot3024}{3}}=2^2\cdot3\cdot7=84. \]
3) \[ \frac{4\cdot3024}{7}=2^6\cdot3^3, \] \[ \sqrt[3]{\frac{4\cdot3024}{7}}=2^2\cdot3=12. \]
Страница 23
9. \[ 12960=2^5\cdot3^4\cdot5. \] Наибольший куб-делитель получается, если взять показатели, кратные 3: \[ 2^3\cdot3^3=216. \] Ответ: \(216\).
10. а) \[ 1936=2^4\cdot11^2. \]
б) 1) Показатели 4 и 2 чётные, поэтому \[ 1936=(2^2\cdot11)^2=44^2, \] значит, это полный квадрат.
2) Показатели 4 и 2 не делятся на 3, поэтому число 1936 не является полным кубом.
в) \[ 1936\cdot\frac{11}{2} =2^4\cdot11^2\cdot\frac{11}{2} =2^3\cdot11^3 =22^3. \] Ответ: \[ m=2,\qquad n=11. \]
Страница 24
11. а) Сторона квадрата: \[ \sqrt{11664}=108\text{ см}. \] Длина проволоки равна периметру: \[ 4\cdot108=432\text{ см}. \]
б) В расчёте проволока считается идеальной линией нулевой толщины. У настоящей проволоки есть толщина, а углы при сгибании получаются закруглёнными; иногда концы соединяют с небольшим нахлёстом. Поэтому реальная длина немного отличается от \(432\) см — разница примерно равна нескольким толщинам проволоки.
12.
а) \(x=2^3\cdot3\). Это не полный куб, потому что множитель \(3\) стоит в первой степени, а показатель 1 не делится на 3.
б) \[ y\cdot z =(2^3\cdot3\cdot5^2\cdot7)(2\cdot3^3\cdot7) =2^4\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^2. \] Все показатели чётные, значит, произведение является полным квадратом: \[ y z=(2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7)^2. \]
в) Наибольшее число, на которое делятся \(x\), \(y\) и \(z\), — это их НОД: \[ \mathrm{НОД}=2\cdot3=6. \]
г) Наименьшее число, которое делится на \(x\), \(y\) и \(z\), — это их НОК: \[ \mathrm{НОК}=2^3\cdot3^3\cdot5^2\cdot7=37800. \]
Дай пожалуйста правильные ответы
