Дай ответы
Сверь числа и знаки с фото.
Начальный уровень 1 a) Запишите все простые числа от 40 до 60. b) Запишите все составные числа от 35 до 55. 2 Определите, какими числами являются следующие числа: простыми или составными. a) 87 b) 167 c) 253 d) 329 3 Запишите одинаковые множители в виде степеней. a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 b) 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 c) 7 × 4 × 7 × 4 × 7 × 4 × 7 d) 5 × 8 × 8 × 8 × 8 × 5 × 5 × 5 Средний уровень 4 Разложите следующие числа на простые множители с помощью дерева множителей. Запишите ответ в виде степени. a) 96 b) 144 c) 360 d) 693
b) Площадь прямоугольной доски длиной x см и шириной y см равна 195 см², а периметр меньше 100 см. Найдите все возможные целые значения x и y. [Рукописно: 195 | 3; 65 | 5; 13 | 13; 1; x · y = 195; P < 100; в рамке x = 15, y = 13] 12 Произведение возрастов двух друзей равно 780. Возраст каждого из них выражается целым числом больше 16. Какой может быть сумма возрастов двух друзей?
Начальный уровень 1 Найдите наибольший общий делитель чисел. a) 6 и 35 b) 98 и 112 c) 117 и 195 d) 245 и 392 2 Найдите НОД чисел. a) 30, 42 и 82 b) 35, 42 и 56 c) 52, 85 и 102 d) 75, 105 и 135 e) 81, 108 и 180 f) 105, 147 и 231 [Рукописно около пункта a): НОД = 1]
Средний уровень 3 Два числа разложили на простые множители и записали в виде произведения степеней следующим образом: 2³ × 3 × 5 × 13² и 2² × 3⁴ × 7² × 13². Найдите наибольшее натуральное число, на которое оба эти числа делятся без остатка. 4 Найдите наибольшее натуральное число, которое одновременно делится без остатка на 84, 252 и 600. 5 В ёмкость в форме кубоида длиной 90 см, шириной 45 см и высотой 30 см поместили несколько кубов, ребро которых является целым числом (см). a) Какой может быть наибольшая длина ребра куба? b) Каким может быть наибольший объём каждого куба? c) Какое наименьшее число кубов можно поместить в ёмкость? [Рукописно: Ребро куба; 45 = [неразборчиво]; 30 = 2·3·5; 90 = [неразборчиво]; НОД = 3·5 = 15]
6 У Лайло есть ленты, длины которых равны 45 см, 2,4 м и 3,15 м. Лайло хочет разделить их на части равной длины. Какой наибольшей длины может быть каждая часть ленты? 7 Тётя Ситора раздавала пакеты с продуктами детям из лагеря. В каждом пакете было одинаковое число продуктов. Всего у неё было 198 орехов, 297 конфет и 495 шоколадных конфет. a) Каким может быть наибольшее число пакетов? b) Найдите количество шоколадных конфет в каждом пакете, используя ответ из пункта a). c) Тётя Ситора хочет раздать детям 200 яблок. Можно ли разделить яблоки поровну между детьми? Обоснуйте свой ответ.
Страница 2
1. а) \(41, 43, 47, 53, 59\); б) \(35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55\).
2. а) 87 — составное (\(87=3\cdot 29\)); б) 167 — простое; в) 253 — составное (\(253=11\cdot 23\)); г) 329 — составное (\(329=7\cdot 47\)).
3. а) \(2^5\); б) \(2^2\cdot 3^4\); в) \(7^4\cdot 4^3\); г) \(5^4\cdot 8^4\).
4. а) \(96=2^5\cdot 3\); б) \(144=2^4\cdot 3^2\); в) \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\); г) \(693=3^2\cdot 7\cdot 11\).
Как рассуждать. Число простое, если у него ровно два делителя — 1 и само число. Проверять достаточно простые делители до \(\sqrt{n}\): для 167 это \(2,3,5,7,11,13\) (ни на одно не делится — значит простое), а \(253=11\cdot 23\), \(329=7\cdot 47\).
Страница 6
b) \(195=3\cdot 5\cdot 13\), пары сторон: \(1\) и \(195\), \(3\) и \(65\), \(5\) и \(39\), \(13\) и \(15\). Условие \(2(x+y)<100\), то есть \(x+y<50\), оставляют только 5 и 39 и 13 и 15 (с перестановками).
12. \(780=20\cdot 39=26\cdot 30\), значит суммы возрастов: \(20+39=59\) и \(26+30=56\). Ответ: 56 или 59.
Страница 8
1. а) 1; б) 14; в) 39; г) 49. 2. а) 2; б) 7; в) 1; г) 15; д) 9; е) 21.
Принцип НОД: раскладываем на простые множители и берём общие множители в наименьших степенях. Например, \(117=3^2\cdot 13\), \(195=3\cdot 5\cdot 13\), общее — \(3\cdot 13=39\). А \(52=2^2\cdot 13\), \(85=5\cdot 17\), \(102=2\cdot 3\cdot 17\) — общих множителей нет, поэтому НОД равен 1.
Страница 9
3. \(2^2\cdot 3\cdot 13^2=4\cdot 3\cdot 169=\mathbf{2028}\) (у 5 и 7 нет пары во втором числе). 4. \(84=2^2\cdot 3\cdot 7\), \(252=2^2\cdot 3^2\cdot 7\), \(600=2^3\cdot 3\cdot 5^2\), общее — \(2^2\cdot 3=\mathbf{12}\). 5. а) \(\text{НОД}(90,45,30)=\mathbf{15}\) см; б) \(15^3=\mathbf{3375}\) см³; в) \(6\cdot 3\cdot 2=\mathbf{36}\) кубов.
Проверка: \(36\cdot 3375=121\,500=90\cdot 45\cdot 30\) — верно.
Страница 10
6. Переводим в сантиметры: 45 см, 240 см, 315 см. \(\text{НОД}=15\), значит каждая часть — 15 см. 7. а) \(\text{НОД}(198,297,495)=99\) пакетов; б) \(495:99=5\) шоколадных конфет; в) нельзя: \(200\) не делится на \(99\) (в остатке 2).
Идея всех задач одна: если что-то делят на равные части без остатка, наибольший размер части — это НОД, а если нужно «наименьшее общее», то НОК.
Обсуждение
4 сообщенияРазбираю задания с новых фотографий.
Задания 8–9
8. а) Не всегда. Квадрат 2×2 см укладывается без остатка только тогда, когда и длина, и ширина делятся на 2, то есть оба числа \(m\) и \(n\) чётные. Например, при \(m=4\), \(n=6\) можно (получится \(2\cdot3=6\) квадратов), а при \(m=3\), \(n=4\) — нельзя: вдоль стороны 3 см целое число квадратов по 2 см не уложить.
б) \(\text{НОД}(280,145)=5\), так как \(280=5\cdot56\), \(145=5\cdot29\). Наибольшая возможная сторона квадрата — 5 см, тогда квадратов \[ 56\cdot29=1624. \] (Если брать квадраты помельче, их будет больше: например, со стороной 1 см — \(280\cdot145=40\,600\).)
9. а) \(1176=8\cdot147=2^3\cdot3\cdot7^2\), значит \[ a=3,\quad b=1,\quad c=2. \]
б) НОД берёт меньшие степени: \(\min(3,p)=2\), \(\min(1,q)=1\), \(\min(2,s)=1\). Отсюда \(p=2\), \(q\ge1\), \(s=1\), то есть \[ m=2^2\cdot3^q\cdot7=28\cdot3^q,\quad q\ge1. \]
- Наименьшее значение при \(q=1\): \(m=4\cdot3\cdot7=\mathbf{84}\).
- Другие значения: \(m=252,\ 756,\ 2268,\ldots\) (каждое следующее в 3 раза больше).
Задания 10–13
10. Пусть числа \(21a\) и \(21b\), где \(a\) и \(b\) взаимно просты. Тогда \(441ab=6615\), откуда \(ab=15\). Подходят пары \((1;15)\) и \((3;5)\): числа 21 и 315 либо 63 и 105. Наименьшее — 21.
11. \(165=3\cdot5\cdot11\), а \(33=3\cdot11\). Значит \(k=33t\), где \(t\) не делится на 5. Из условия \(100<33t<200\) получаем \(t=4,5,6\). При \(t=5\) будет \(k=165\) и \(\text{НОД}=165\), не подходит. Остаются \(k=132\) и \(k=198\). Ответ: 2 значения.
12. Из \(152=nq+2\) следует, что \(n\) делит 150, а из \(55=np+1\) — что \(n\) делит 54; при этом \(n>2\). \(\text{НОД}(150,54)=6\), его делители больше 2 — это 3 и 6. Наибольшее \(n=\mathbf{6}\). Проверка: \(152=25\cdot6+2\), \(55=9\cdot6+1\).
13. Комил прав для различных простых чисел: у них нет общих делителей, кроме 1, например \(\text{НОД}(7,13)=1\). Но если числа совпадают, то \(\text{НОД}(7,7)=7\), поэтому слово «произвольных» делает утверждение неточным. Доно неправ: у составных чисел общий делитель может отсутствовать, например \(\text{НОД}(4,9)=1\), \(\text{НОД}(8,15)=1\).
Страница 14
1. а) 112; б) 102; в) 252; г) 1050. Например, в) \(36=2^2\cdot3^2\), \(63=3^2\cdot7\), поэтому \(\text{НОК}=2^2\cdot3^2\cdot7=252\).
2.
| числа | НОК | |
|---|---|---|
| a) | 5, 8, 20 | 40 |
| b) | 12, 14, 18 | 252 |
| c) | 3, 34, 46 | 2346 |
| d) | 16, 24, 56 | 336 |
| e) | 22, 55, 77 | 770 |
| f) | 24, 35, 49 | 5880 |
| g) | 8, 44, 105 | 9240 |
| h) | 225, 245, 280 | 88 200 |
Страница 15
3. а) НОД \(=2^2\cdot3^4\), НОК \(=2^3\cdot3^5\); б) НОД \(=5^2\), НОК \(=2\cdot3^3\cdot5^3\); в) НОД \(=2\cdot3^3\cdot5\), НОК \(=2^3\cdot3^4\cdot5^2\); г) НОД \(=3\cdot5^3\cdot7^2\), НОК \(=3^4\cdot5^4\cdot7^3\).
4. \(\text{НОК}(6,10)=30\), значит нужно 30 булочек и 30 сосисок: это 5 упаковок булочек и 3 упаковки сосисок (всего 8 упаковок).
5. \(\text{НОК}(32,30)=2^5\cdot3\cdot5=480\). Наименьшая высота стопки — 480 см (15 коробок по 32 см и 16 коробок по 30 см).
Страница 16
6. \(\text{НОК}(8,10,12)=120\). Машины снова встретятся в точке \(P\) через 120 секунд (за это время A сделает 15 кругов, B — 12, C — 10).
7. а) \(\text{НОК}(5,6,8)=120\) минут \(=2\) часа; б) \(14{:}30+2{:}00=\mathbf{16{:}30}\).
Главное правило: в разложениях на простые множители НОК берёт наибольшие степени, а НОД — наименьшие. В задачах «наименьшее время/высота, когда совпадёт» — это НОК, а «наибольшая сторона/часть» — НОД.
Это продолжение: та же тема — НОД, НОК и корни. Страница 16 уже разобрана выше: 6) 120 с; 7) 120 мин \(=2\) ч, то есть 16:30. Ниже — новые задания.
Страница 17
8. а) \(1960=2^3\cdot5\cdot7^2\), поэтому \[ a=3,\quad b=1,\quad c=2. \]
б) Для НОК степени берутся с наибольшим показателем: \[ \max(3,p)=3,\quad \max(1,q)=2,\quad \max(2,r)=2,\quad \max(0,s)=1. \] Отсюда \(q=2\), \(s=1\), а \(p\le3\), \(r\le2\). Наименьшее \(n\) получается при \(p=r=0\): \[ n=5^2\cdot11=275. \] Если в классе требуют, чтобы все показатели были натуральными, то \(p=r=1\) и \(n=2\cdot5^2\cdot7\cdot11=3850\). Но формально наименьшее натуральное \(n\) — 275.
9. Циферблат 12-часовой, поэтому ошибка должна накопиться до \(12\) ч \(=720\) мин.
а) \(2d=720k\), значит \(d=720:2=\mathbf{360}\) дней.
б) \(3d=720k\), значит \(d=720:3=\mathbf{240}\) дней.
в) Часы расходятся на \(2+3=5\) мин в день: \[ 5d=720k,\quad d=720:5=\mathbf{144}\text{ дня}. \]
Задание 10
\[ 2^2\cdot3\cdot5^2=300,\qquad 1200=2^4\cdot3\cdot5^2. \] Пусть \(m=2^a\cdot3^b\cdot5^c\). Тогда: \[ \max(2,a)=4\Rightarrow a=4,\quad \max(1,b)=1\Rightarrow b\le1,\quad \max(2,c)=2\Rightarrow c\le2. \] Значит, \[ m=16\cdot3^b\cdot5^c,\quad b\in\{0,1\},\ c\in\{0,1,2\}. \] Возможные значения: \(16,\ 48,\ 80,\ 240,\ 400,\ 1200\). Любые три, например: \[ \boxed{16,\ 48,\ 80}. \]
Страница 20
1. Квадратные корни: а) \(64=2^6\), \(\sqrt{64}=2^3=\mathbf{8}\); б) \(225=3^2\cdot5^2\), \(\sqrt{225}=3\cdot5=\mathbf{15}\); в) \(324=2^2\cdot3^4\), \(\sqrt{324}=2\cdot3^2=\mathbf{18}\); г) \(576=2^6\cdot3^2\), \(\sqrt{576}=2^3\cdot3=\mathbf{24}\); д) \(625=5^4\), \(\sqrt{625}=5^2=\mathbf{25}\); е) \(1600=2^6\cdot5^2\), \(\sqrt{1600}=2^3\cdot5=\mathbf{40}\).
2. Кубические корни: а) \(27=3^3\), \(\sqrt[3]{27}=\mathbf{3}\); б) \(64=2^6\), \(\sqrt[3]{64}=2^2=\mathbf{4}\); в) \(125=5^3\), \(\sqrt[3]{125}=\mathbf{5}\); г) \(1000=2^3\cdot5^3\), \(\sqrt[3]{1000}=2\cdot5=\mathbf{10}\); д) \(2744=2^3\cdot7^3\), \(\sqrt[3]{2744}=2\cdot7=\mathbf{14}\); е) \(4096=2^{12}\), \(\sqrt[3]{4096}=2^4=\mathbf{16}\).
Страница 21
3. а) \(162=2\cdot3^4\), \(288=2^5\cdot3^2\), поэтому \[ 162\cdot288=2^{1+5}\cdot3^{4+2}=2^6\cdot3^6. \]
б) \(2^6\cdot3^6=(2^3\cdot3^3)^2=(2^2\cdot3^2)^3\), то есть число является и полным квадратом, и полным кубом: \[ 2^6\cdot3^6=6^6=(6^3)^2=(6^2)^3. \]
4. \(240=2^4\cdot3\cdot5\), \(450=2\cdot3^2\cdot5^2\). Тогда \[ \text{НОК}=2^4\cdot3^2\cdot5^2=3600,\qquad \sqrt{3600}=\mathbf{60}. \]
5. а) \(1728=12^3\), значит ребро куба: \[ a=12\text{ см}. \]
б) Площадь одной грани: \[ S=a^2=12^2=\mathbf{144}\text{ см}^2. \]
