Решите неравенство −12/(x² − 7x − 8) ≤ 0

Краткие ответы

№20. Неравенство

\[ -\frac{12}{x^{2}-7x-8}\le 0 \iff \frac{12}{x^{2}-7x-8}\ge 0 \]

Принцип: числитель \(12>0\) всегда, значит знак дроби задаёт только знаменатель. Нужно \(x^{2}-7x-8>0\) (нулю знаменатель равняться не может).

Корни: \(x=8\) и \(x=-1\), ветви параболы вверх, поэтому \[ (x-8)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \ \text{или}\ x>8 . \]

Проверка: \(x=0\) даёт \(1{,}5>0\) — не подходит (верно, \(0\) не входит); \(x=9\) даёт \(-1{,}2\le 0\) — подходит.

№21. Велосипедисты

Пусть \(x\) км/ч — скорость второго (он пришёл вторым). Первый: \(x+9\). Разница времён — 4 ч:

\[ \frac{112}{x}-\frac{112}{x+9}=4 \] \[ 112(x+9)-112x=4x(x+9)\Rightarrow 1008=4x^{2}+36x \] \[ x^{2}+9x-252=0,\quad D=1089=33^{2},\quad x=\frac{-9+33}{2}=12 \]

Проверка: \(\frac{112}{12}-\frac{112}{21}=\frac{28}{3}-\frac{16}{3}=4\) ч. Ответ: 12 км/ч.

№22. График с «выколотыми» точками

Область определения: \(x\ne 3,\ x\ne -2\). Числитель раскладывается: \[ x^{4}-13x^{2}+36=(x^{2}-4)(x^{2}-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) \]

После сокращения: \[ y=x^{2}+x-6 \] то есть парабола с выколотыми точками \((3;6)\) и \((-2;-4)\).

Вершина: \(x=-\frac{1}{2}\), \(y=-6{,}25\).

Горизонтальная прямая \(y=c\) даёт одну точку, если:

• \(c=-6{,}25\) — вершина (одна точка, она не выколота);
• \(c=6\) — второй корень \(x=-4\), а \(x=3\) выколот;
• \(c=-4\) — второй корень \(x=1\), а \(x=-2\) выколот.

При остальных \(c>-6{,}25\) точек две, при \(c<-6{,}25\) — ни одной.

№23. Окружность и касательная

Центр \(O\) лежит на \(AC\), радиус \(r=8{,}4:2=4{,}2\), значит \(OB=OC=4{,}2\). Касательная перпендикулярна радиусу: \(OB\perp AB\).

Прямоугольный \(\triangle AOB\): \(AO^{2}=AB^{2}+OB^{2}=16+17{,}64=33{,}64\), \(AO=5{,}8\).

\[ AC=AO+OC=5{,}8+4{,}2=10 \]

№24. Доказательство

Пусть \(AD=a\), \(BC=b\), высота трапеции \(h\). Средняя линия параллельна основаниям и делит высоту пополам, поэтому точка \(E\) удалена от \(BC\) на \(h/2\) и от \(AD\) на \(h/2\).

\[ S_{BEC}=\frac{1}{2}b\cdot\frac{h}{2},\qquad S_{AED}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{h}{2} \] \[ S_{BEC}+S_{AED}=\frac{h(a+b)}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1}{2}S_{ABCD} \]

№25. Радиус описанной окружности

Обозначим \(z=\angle CAD=\angle CBD\) (опираются на \(CD\)), \(w=\angle ADB=\angle ACB\) (опираются на \(AB\)). Угол между диагоналями — внешний угол \(\triangle AKD\):

\[ \angle AKB=z+w=60^{\circ} \]

По теореме синусов для хорд: \[ AB=2R\sin w=40,\qquad CD=2R\sin z=10 \] \[ \sin w=\frac{20}{R},\quad \sin z=\frac{5}{R},\quad z=60^{\circ}-w \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos w-\frac{1}{2}\sin w=\frac{5}{R} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cos w=\frac{15}{R} \Rightarrow \cos w=\frac{10\sqrt{3}}{R} \]

\[ \sin^{2}w+\cos^{2}w=1:\quad \frac{400}{R^{2}}+\frac{300}{R^{2}}=1 \Rightarrow R^{2}=700 \]

\[ R=10\sqrt{7} \]