…убыванию, а также … функции!
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[обрезано]убыванию, а также [обрезано] функции!
① \(f(x)=-2+3x-x^3\) ② \(f(x)=6x^2-x-5\) ③ \(f(x)=x^3-6x^2-15x-2\) ④ \(f(x)=5x^3-3x^5\) ⑤ \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3\)
По видимой части условия это задание на промежутки возрастания/убывания и экстремумы функции. Все данные функции — многочлены, поэтому \(x\in\mathbb R\).
Краткий ответ
| № | Возрастает | Убывает | Экстремумы |
|---|---|---|---|
| 1 | \((-1;1)\) | \((-\infty;-1)\), \((1;+\infty)\) | \(x_{\min}=-1,\ f=-4\); \(x_{\max}=1,\ f=0\) |
| 2 | \(\left(\frac{1}{12};+\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac{1}{12}\right)\) | \(x_{\min}=\frac{1}{12},\ f=-\frac{121}{24}=-5\frac{1}{24}\) |
| 3 | \((-\infty;-1)\), \((5;+\infty)\) | \((-1;5)\) | \(x_{\max}=-1,\ f=6\); \(x_{\min}=5,\ f=-102\) |
| 4 | \((-1;1)\) | \((-\infty;-1)\), \((1;+\infty)\) | \(x_{\min}=-1,\ f=-2\); \(x_{\max}=1,\ f=2\) |
| 5 | \((-\infty;-1)\), \((1;+\infty)\) | \((-1;1)\) | \(x_{\max}=-1,\ f=\frac{2}{15}\); \(x_{\min}=1,\ f=-\frac{2}{15}\) |
В №4 и №5 точка \(x=0\) — критическая, но не экстремум: производная там равна нулю, однако знак не меняется.
Как решать
- Найти \(f'(x)\).
- Решить \(f'(x)=0\) — это критические точки.
- Определить знак \(f'\) на промежутках:
\(f'>0\) — функция возрастает, \(f'<0\) — убывает. - Если знак меняется с \(+\) на \(-\), это максимум; с \(-\) на \(+\), минимум. Если знак не меняется, экстремума нет.
Пример №1
\[ f'(x)=3-3x^2=-3(x-1)(x+1). \]
Корни производной: \(x=-1\), \(x=1\).
На \((-\infty;-1)\) производная отрицательна, на \((-1;1)\) положительна, на \((1;+\infty)\) снова отрицательна. Значит, функция убывает, затем возрастает, затем убывает. Поэтому \(x=-1\) — минимум, \(x=1\) — максимум. Подстановка даёт \(f(-1)=-4\), \(f(1)=0\).
Остальные номера
- №2: \(f'=12x-1\), корень \(\frac{1}{12}\); знаки \(-,+\). Минимум в \(\frac{1}{12}\), максимума нет.
- №3: \(f'=3(x-5)(x+1)\), корни \(-1\) и \(5\); знаки \(+,-,+\). Максимум при \(-1\), минимум при \(5\).
- №4: \(f'=15x^2(1-x^2)\), корни \(-1,0,1\); знаки \(-,+,+,-\); в нуле знак не меняется.
- №5: \(f'=x^2(x-1)(x+1)\), корни \(-1,0,1\); знаки \(+,-,-,+\); в нуле знак не меняется.
Я проверил значения подстановкой, например: \(f(5)=125-150-75-2=-102\) в №3, \(f(1)=5-3=2\) в №4.
