Реши номер 120 второй пример

Это № 120, пример 2:

\[ \frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}=0. \]

Доказательство. Сначала разложим знаменатели:

\[ c^2+3c=c(c+3),\qquad 3c+9=3(c+3). \]

Значит, общий знаменатель — \(3c(c+3)\), причём \(c\neq 0,\ c\neq -3\).

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{3(c+2)}{3c(c+3)}-\frac{c}{3c(c+3)}-\frac{2(c+3)}{3c(c+3)}. \]

Складываем числители:

\[ 3(c+2)-c-2(c+3)=3c+6-c-2c-6=0. \]

Получаем:

\[ \frac{0}{3c(c+3)}=0. \]

Тождество доказано.

Как действовать в похожих заданиях: разложи все знаменатели на множители, найди общий знаменатель, приведи дроби к нему и упрости числитель. Если после приведения числитель обращается в нуль, то выражение действительно равно нулю.

Пришли фото или запиши условие № 123 — без него решить нельзя. Если в номере несколько примеров, укажи нужный.

№ 123. Доказать тождество:

\[ \frac{3a^2+24}{a^3+8}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}=\frac{2}{a+2}. \]

Разложим сумму кубов:

\[ a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4). \]

При \(a\neq -2\) приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{3a^2+24}{(a+2)(a^2-2a+4)} -\frac{6(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} -\frac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}. \]

Считаем числитель:

\[ 3a^2+24-6(a+2)-(a^2-2a+4) = 3a^2+24-6a-12-a^2+2a-4 = 2a^2-4a+8. \]

Тогда:

\[ 2a^2-4a+8=2(a^2-2a+4). \]

Получаем:

\[ \frac{2(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2}{a+2}. \]

Тождество доказано. Оно верно при \(a\neq -2\), поскольку при таком значении не определена исходная дробь.

Идея решения: сумма кубов раскладывается на множители, затем все дроби приводятся к общему знаменателю и числитель упрощается.