2. Квадратное уравнение. Пример: x² − 5x + 4 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 4,\qquad x_2 = 1 \]

Как это получается

В примере на фото остановились на дискриминанте — доведём до корней.

1. Что уже сделано: \(a = 1,\ b = -5,\ c = 4\),

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 25 - 16 = 9. \]

Так как \(D > 0\), корней два, и они находятся по формуле

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

2. Подставляем числа. Обрати внимание: \(-b = -(-5) = 5\), то есть минус перед \(b\) меняет знак коэффициента.

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}. \]

3. Два значения «плюс-минус»:

\[ x_1 = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4, \qquad x_2 = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

Проверка

По теореме Виета для \(x^2 - 5x + 4 = 0\): сумма корней \(4 + 1 = 5 = -\frac{b}{a}\), произведение \(4\cdot 1 = 4 = \frac{c}{a}\). Всё сходится. Можно проверить и подстановкой: \(4^2 - 5\cdot 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0\), \(1^2 - 5\cdot 1 + 4 = 0\).

Принцип, чтобы решать похожие

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\) и выпиши \(a, b, c\) вместе со знаками.
2. Считай \(D = b^2 - 4ac\): если \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет.
3. Подставь в \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) и вычисли два значения.

Тот же приём «переносим — меняем знак», что и в первом примере с линейным уравнением \(8 + 2x = -5x + 13\), здесь уже не нужен: в квадратном уравнении всё решает дискриминант.