решить подробно

Question

решить подробно

Расшифровка фото нейросетью:
8 класс
Контрольная работа № 1
Вариант I

1. Сократите дробь:
а) $\frac{35a^6b^8}{49a^8b^7}$; б) $\frac{11a}{a^2+3a}$; в) $\frac{x^2-y^2}{3x+3y}$.

2. Представьте в виде дроби:
а) $\frac{a-6}{3a}+\frac{2a-1}{a^2}$; б) $\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}$; в) $\frac{5}{b+4}-\frac{5b-1}{b^2+4b}$.

3. Найдите значение выражения $\frac{15a^2-b}{5a}-3a$ при $a=-1,2$, $b=12$.

4. Упростите выражение $\frac{3}{a-6}-\frac{a+30}{a^2-36}-\frac{2}{a}$.

5. Зная, что $x-y=5$, найдите значение дроби $\frac{(2x-2y)^2}{15}$.

Вариант II

1. Сократите дробь:
а) $\frac{15x^7y^9}{45x^2y^{10}}$; б) $\frac{7b}{b^4-5b}$; в) $\frac{a^2-b^2}{6a-6b}$.

2. Представьте в виде дроби:
а) $\frac{x-8}{4x}+\frac{2x-3}{x^2}$; б) $\frac{1}{4b-c}-\frac{1}{4b+c}$; в) $\frac{3}{a+7}-\frac{3a-2}{a^2+7a}$.

3. Найдите значение выражения $\frac{18x^2-y}{2x}-9x$ при $x=-1,5$, $y=12$.

4. Упростите выражение $\frac{3}{2x-3}-\frac{2x+15}{4x^2-9}-\frac{1}{x}$.

5. Зная, что $a-b=7$, найдите значение дроби $\frac{(3a-3b)^2}{14}$.

Answer

На фото два варианта одной контрольной работы. Ниже — краткие ответы, а затем подробные шаги для обоих вариантов; используй свой.

Краткие ответы

Вариант I

1. а) $\frac{5b}{7a^2}$; б) $\frac{11}{a+3}$; в) $\frac{x-y}{3}$.

2. а) $\frac{a^2-3}{3a^2}$; б) $\frac{2b}{4a^2-b^2}$; в) $\frac{1}{b(b+4)}$.

3. $2$.

4. $-\frac{12}{a(a+6)}$.

5. $\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$.

Вариант II

1. а) $\frac{x^5}{3y}$; б) $\frac{7}{b^3-5}$; в) $\frac{a+b}{6}$.

2. а) $\frac{x^2-12}{4x^2}$; б) $\frac{2c}{16b^2-c^2}$; в) $\frac{2}{a(a+7)}$.

3. $4$.

4. $-\frac{3}{x(2x+3)}$.

5. $\frac{63}{2}=31{,}5$.

Подробные решения

Главное правило: сокращать дробь можно только на общий множитель, а не на слагаемое. Поэтому сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Вариант I

1. Сокращение дробей

а)
$$
\frac{35a^6b^8}{49a^8b^7}
=\frac{35}{49}\cdot \frac{a^6}{a^8}\cdot \frac{b^8}{b^7}
=\frac{5}{7}\cdot \frac{1}{a^2}\cdot b
=\frac{5b}{7a^2}.
$$
Исходная дробь определена при $a\ne0$, $b\ne0$.

б)
$$
\frac{11a}{a^2+3a}
=\frac{11a}{a(a+3)}
=\frac{11}{a+3}.
$$
Здесь $a\ne0$, $a\ne-3$.

в)
$$
\frac{x^2-y^2}{3x+3y}
=\frac{(x-y)(x+y)}{3(x+y)}
=\frac{x-y}{3}.
$$
Здесь $x+y\ne0$.

2. Представить в виде одной дроби

а) Общий знаменатель $3a^2$:
$$
\frac{a-6}{3a}+\frac{2a-1}{a^2}
=\frac{a(a-6)+3(2a-1)}{3a^2}
=\frac{a^2-6a+6a-3}{3a^2}
=\frac{a^2-3}{3a^2}.
$$
При $a\ne0$.

б)
$$
\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}
=\frac{(2a+b)-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)}
=\frac{2b}{4a^2-b^2}.
$$
При $4a^2\ne b^2$.

в)
$$
\frac{5}{b+4}-\frac{5b-1}{b^2+4b}
=\frac{5b-(5b-1)}{b(b+4)}
=\frac{1}{b(b+4)}.
$$
При $b\ne0$, $b\ne-4$.

3. Значение выражения

Сначала упростим:
$$
\frac{15a^2-b}{5a}-3a
=\frac{15a^2-b}{5a}-\frac{15a^2}{5a}
=-\frac{b}{5a}.
$$
Подставляем $a=-1{,}2$, $b=12$:
$$
-\frac{12}{5\cdot(-1{,}2)}
=-\frac{12}{-6}=2.
$$

4. Упростить выражение

$$
\frac{3}{a-6}-\frac{a+30}{a^2-36}-\frac{2}{a}.
$$
Так как $a^2-36=(a-6)(a+6)$, общий знаменатель:
$$
a(a-6)(a+6).
$$
Получаем:
$$
\frac{3a(a+6)-a(a+30)-2(a-6)(a+6)}{a(a-6)(a+6)}.
$$
Раскрываем числитель:
$$
3a^2+18a-a^2-30a-2a^2+72=-12a+72=-12(a-6).
$$
Значит:
$$
\frac{-12(a-6)}{a(a-6)(a+6)}
=-\frac{12}{a(a+6)}.
$$
При $a\ne0$, $a\ne\pm6$.
Проверка: при $a=1$ исходное выражение и упрощённое дают $-\frac{12}{7}$.

5. Значение дроби

$$
2x-2y=2(x-y)=2\cdot5=10.
$$
Тогда
$$
\frac{(2x-2y)^2}{15}
=\frac{10^2}{15}
=\frac{100}{15}
=\frac{20}{3}
=6\frac{2}{3}.
$$

Вариант II

1. Сокращение дробей

а)
$$
\frac{15x^7y^9}{45x^2y^{10}}
=\frac{15}{45}\cdot x^{7-2}\cdot y^{9-10}
=\frac{x^5}{3y}.
$$
Исходная дробь определена при $x\ne0$, $y\ne0$.

б)
$$
\frac{7b}{b^4-5b}
=\frac{7b}{b(b^3-5)}
=\frac{7}{b^3-5}.
$$
При $b\ne0$, $b^3\ne5$.

в)
$$
\frac{a^2-b^2}{6a-6b}
=\frac{(a-b)(a+b)}{6(a-b)}
=\frac{a+b}{6}.
$$
При $a\ne b$.

2. Представить в виде одной дроби

а) Общий знаменатель $4x^2$:
$$
\frac{x-8}{4x}+\frac{2x-3}{x^2}
=\frac{x(x-8)+4(2x-3)}{4x^2}
=\frac{x^2-8x+8x-12}{4x^2}
=\frac{x^2-12}{4x^2}.
$$
При $x\ne0$.

б)
$$
\frac{1}{4b-c}-\frac{1}{4b+c}
=\frac{(4b+c)-(4b-c)}{(4b-c)(4b+c)}
=\frac{2c}{16b^2-c^2}.
$$
При $16b^2\ne c^2$.

в)
$$
\frac{3}{a+7}-\frac{3a-2}{a^2+7a}
=\frac{3a-(3a-2)}{a(a+7)}
=\frac{2}{a(a+7)}.
$$
При $a\ne0$, $a\ne-7$.

3. Значение выражения

Сначала упростим:
$$
\frac{18x^2-y}{2x}-9x
=\frac{18x^2-y}{2x}-\frac{18x^2}{2x}
=-\frac{y}{2x}.
$$
Подставляем $x=-1{,}5$, $y=12$:
$$
-\frac{12}{2\cdot(-1{,}5)}
=-\frac{12}{-3}=4.
$$

4. Упростить выражение

$$
\frac{3}{2x-3}-\frac{2x+15}{4x^2-9}-\frac{1}{x}.
$$
Так как $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$, общий знаменатель:
$$
x(2x-3)(2x+3).
$$
Получаем:
$$
\frac{3x(2x+3)-x(2x+15)-(2x-3)(2x+3)}{x(2x-3)(2x+3)}.
$$
Раскрываем числитель:
$$
6x^2+9x-2x^2-15x-4x^2+9=-6x+9=-3(2x-3).
$$
Поэтому:
$$
\frac{-3(2x-3)}{x(2x-3)(2x+3)}
=-\frac{3}{x(2x+3)}.
$$
При $x\ne0$, $x\ne\pm1{,}5$.

5. Значение дроби

$$
3a-3b=3(a-b)=3\cdot7=21.
$$
Тогда
$$
\frac{(3a-3b)^2}{14}
=\frac{21^2}{14}
=\frac{441}{14}
=\frac{63}{2}
=31{,}5.
$$

Что важно запомнить

1. При сокращении сначала раскладывай на множители: $a^2+3a=a(a+3)$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

2. При сложении дробей нужен общий знаменатель; числители домножаются на недостающие множители.

3. В заданиях «зная, что $x-y=5$» не нужно находить $x$ и $y$ по отдельности — надо выделить общий множитель.

4. После упрощения полезно проверить результат подстановкой удобного числа, не входящего в запрещённые значения.