Контрольная работа № 2 (п. 5—8). Вариант 1. 1. Представьте в виде дроби выражение

На фото два варианта контрольной. Ниже — сначала короткие ответы, затем ключевые шаги. Если тебе задан только один вариант, бери свой.

Кратко

Вариант 1

1. а) \(\frac{4a}{3b^4}\); б) \(\frac{5xy^3}{7}\); в) \(x-1\).
2. \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\); \(A\) — нет, \(B\) — нет, \(C\) — да.
3. \(\frac{a^2+4}{8a}\).
4. \(a\ne0,\ a\ne3\).

Вариант 2

1. а) \(\frac{3y^4}{5x}\); б) \(\frac{2a^3b^4}{3}\); в) \(-\frac{(x+3)^2}{(x-1)^3}\).
2. \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\); \(A\) — да, \(B\) — нет, \(C\) — нет.
3. \(-4\).
4. \(x\ne0,\ x\ne\frac65\).

---

Вариант 1

1. Представить в виде дроби

а) \[ \frac{24a^5}{b^7}\cdot\frac{b^3}{18a^4} =\frac{24}{18}\cdot a^{5-4}\cdot b^{3-7} =\frac43\cdot a\cdot b^{-4} =\frac{4a}{3b^4}. \]

б) \[ (15x^4y^2):\frac{21x^3}{y} =15x^4y^2\cdot\frac{y}{21x^3} =\frac{15}{21}x^{4-3}y^{2+1} =\frac{5xy^3}{7}. \]

в) Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \[ x+\frac{5-x^2}{1+x} =\frac{x(1+x)+5-x^2}{1+x} =\frac{x+x^2+5-x^2}{1+x} =\frac{x+5}{1+x}. \] Теперь делим: \[ \frac{x+5}{1+x}:\frac{5+x}{x^2-1} =\frac{x+5}{1+x}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x+5} =x-1. \] Ответ: \(x-1\) при допустимых \(x\ne -5,-1,1\).

2. График \(y=-\frac5x\)

Область определения: \[ x\ne0,\qquad D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

Проверяем точки:

• \(A(-10;-0{,}5)\): \[ -\frac{5}{-10}=0{,}5\ne -0{,}5, \] значит, \(A\) не принадлежит графику.

• \(B(0{,}5;10)\): \[ -\frac{5}{0{,}5}=-10\ne10, \] значит, \(B\) не принадлежит.

• \(C(0{,}25;-20)\): \[ -\frac{5}{0{,}25}=-20, \] значит, \(C\) принадлежит графику.

График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Для построения можно взять точки: \[ (-5;1),\ (-1;5),\ (1;-5),\ (5;-1). \]

3. Упростить выражение

\[ \left(\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{16a}{a^2-4}. \]

Сначала сумма в скобках: \[ \frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2} =\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{a^2-4} =\frac{2a^2+8}{a^2-4} =\frac{2(a^2+4)}{a^2-4}. \] Теперь деление: \[ \frac{2(a^2+4)}{a^2-4}\cdot\frac{a^2-4}{16a} =\frac{a^2+4}{8a}. \] Ответ: \(\frac{a^2+4}{8a}\), \(a\ne0,\ a\ne\pm2\).

Проверка при \(a=1\): исходное выражение даёт \(\frac58\), формула — тоже \(\frac58\).

4. Область определения выражения

\[ \frac{2a}{3-\frac9a}. \] Нужно: \[ a\ne0 \] и \[ 3-\frac9a\ne0. \] Второе условие: \[ 3=\frac9a \quad\Rightarrow\quad a=3. \] Значит, выражение имеет смысл при всех \(a\), кроме \(0\) и \(3\): \[ a\in(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty). \]

---

Вариант 2

1. Представить в виде дроби

а) \[ \frac{21x^4}{y^3}\cdot\frac{y^7}{35x^5} =\frac{21}{35}x^{4-5}y^{7-3} =\frac35x^{-1}y^4 =\frac{3y^4}{5x}. \]

б) \[ (12a^8b^3):\frac{18a^5}{b} =12a^8b^3\cdot\frac{b}{18a^5} =\frac{12}{18}a^{8-5}b^{3+1} =\frac{2a^3b^4}{3}. \]

в) Сначала скобка: \[ x+\frac{3+x^2}{1-x} =\frac{x(1-x)+3+x^2}{1-x} =\frac{x-x^2+3+x^2}{1-x} =\frac{x+3}{1-x}. \] Теперь деление: \[ \frac{x+3}{1-x}:\frac{1-2x+x^2}{x+3} =\frac{x+3}{1-x}\cdot\frac{x+3}{(x-1)^2}. \] Так как \(1-x=-(x-1)\), получаем: \[ -\frac{(x+3)^2}{(x-1)^3}. \] Ответ: \(-\frac{(x+3)^2}{(x-1)^3}\), \(x\ne1,\ x\ne-3\).

2. График \(y=\frac6x\)

Область определения: \[ x\ne0,\qquad D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

Проверяем точки:

• \(A(-15;-0{,}4)\): \[ \frac{6}{-15}=-0{,}4, \] значит, \(A\) принадлежит графику.

• \(B(-0{,}5;12)\): \[ \frac{6}{-0{,}5}=-12\ne12, \] значит, \(B\) не принадлежит.

• \(C(0{,}6;-10)\): \[ \frac{6}{0{,}6}=10\ne-10, \] значит, \(C\) не принадлежит.

График — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Точки для построения: \[ (-6;-1),\ (-1;-6),\ (1;6),\ (6;1). \]

3. Упростить выражение

\[ \left(\frac{x-8}{x+8}-\frac{x+8}{x-8}\right):\frac{8x}{x^2-64}. \]

Сначала разность: \[ \frac{x-8}{x+8}-\frac{x+8}{x-8} =\frac{(x-8)^2-(x+8)^2}{x^2-64}. \] Раскрываем квадраты: \[ (x-8)^2-(x+8)^2 =(x^2-16x+64)-(x^2+16x+64) =-32x. \] Значит, скобка равна: \[ \frac{-32x}{x^2-64}. \] Теперь деление: \[ \frac{-32x}{x^2-64}\cdot\frac{x^2-64}{8x} =-4. \] Ответ: \(-4\), \(x\ne0,\ x\ne\pm8\).

Проверка при \(x=1\): исходное выражение равно \(-4\).

4. Область определения выражения

\[ \frac{3x}{5-\frac6x}. \] Нужно: \[ x\ne0 \] и \[ 5-\frac6x\ne0. \] Второе условие: \[ 5=\frac6x \quad\Rightarrow\quad x=\frac65. \] Значит, выражение имеет смысл при всех \(x\), кроме \(0\) и \(\frac65\): \[ x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac65\right)\cup\left(\frac65;+\infty\right). \]

---

Что важно понять

• При умножении дробей сокращай коэффициенты и степени: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
• Деление на дробь — это умножение на обратную дробь.
• При сложении и вычитании дробей сначала приводи к общему знаменателю.
• Область определения: все знаменатели должны быть не равны нулю. В «многоэтажных» дробях проверяй и внутренние, и внешние знаменатели.
• Точка принадлежит графику, если после подстановки её координат в уравнение получается верное равенство.