реши 19.4 ,19.6 и 19.8

Question

Расшифровка фото нейросетью:
19.4. 1) $\cos x=-0{,}7$; 2) $\sin x=-\frac{\sqrt{5}}{4}$; 3) $\cos x=0{,}8$; 4) $\operatorname{ctg}x=-5$; 5) $\operatorname{tg}x=0$; 6) $\sin x=-1$.
19.6. 1) $\sin 2x=1{,}2$; 2) $\cos 3x=\sqrt{2}$; 3) $\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{2}$; 4) $\operatorname{tg}5x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; 5) $\cos 4x=0$; 6) $\operatorname{ctg}(-3x)=-1$.
19.8. 1) $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; 2) $\cos(2-3x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; 3) $\sin(3(x+1))=\frac{1}{2}$; 4) $\operatorname{tg}(5x-2)=-\sqrt{3}$; 5) $\sin(4x-3)=-1$; 6) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{8}+3x\right)=1$.

Answer

Везде $k,n\in\mathbb Z$; углы — в радианах. В 19.6.4 читаю $\operatorname{tg}5x=-\frac{\sqrt3}{3}$.

Кратко: ответы

19.4

1. $\cos x=-0{,}7$:
$$
x=\pm\arccos(-0{,}7)+2\pi k.
$$

2. $\sin x=-\frac{\sqrt5}{4}$:
$$
x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt5}{4}+\pi n.
$$

3. $\cos x=0{,}8$:
$$
x=\pm\arccos0{,}8+2\pi k.
$$

4. $\operatorname{ctg}x=-5$:
$$
x=-\operatorname{arctg}\frac15+\pi k.
$$

5. $\operatorname{tg}x=0$:
$$
x=\pi k.
$$

6. $\sin x=-1$:
$$
x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.
$$

19.6

1. $\sin2x=1{,}2$ — корней нет, так как $1{,}2>1$.

2. $\cos3x=\sqrt2$ — корней нет, так как $\sqrt2>1$.

3. $\sin\frac{x}{3}=-\frac12$:
$$
x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{2}+3\pi n.
$$

4. $\operatorname{tg}5x=-\frac{\sqrt3}{3}$:
$$
x=-\frac{\pi}{30}+\frac{\pi k}{5}.
$$

5. $\cos4x=0$:
$$
x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}.
$$

6. $\operatorname{ctg}(-3x)=-1$:
$$
x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}.
$$

19.8

1. $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$:
$$
x=-\frac{\pi}{4}+\pi k
\quad\text{или}\quad
x=\frac{7\pi}{12}+\pi k.
$$

2. $\cos(2-3x)=-\frac{\sqrt2}{2}$:
$$
x=\frac23\pm\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}.
$$

3. $\sin(3(x+1))=\frac12$:
$$
x=-1+\frac{(-1)^n\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}.
$$

4. $\operatorname{tg}(5x-2)=-\sqrt3$:
$$
x=\frac25-\frac{\pi}{15}+\frac{\pi k}{5}.
$$

5. $\sin(4x-3)=-1$:
$$
x=\frac34-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}.
$$

6. $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{8}+3x\right)=1$:
$$
x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{3}.
$$

Как понять принцип

Сначала решают уравнение не для $x$, а для целого угла — выражения в скобках. Потом выражают $x$.

Основные формулы:

$$
\sin t=a,\ |a|\le1:\quad t=(-1)^n\arcsin a+\pi n;
$$

$$
\cos t=a,\ |a|\le1:\quad t=\pm\arccos a+2\pi n;
$$

$$
\operatorname{tg}t=a:\quad t=\operatorname{arctg}a+\pi n;
$$

$$
\operatorname{ctg}t=a:\quad t=\operatorname{arcctg}a+\pi n.
$$

Например, в 19.8.4:

$$
5x-2=-\frac{\pi}{3}+\pi k.
$$

Сначала прибавляем 2, затем делим на 5:

$$
5x=2-\frac{\pi}{3}+\pi k,
$$

$$
x=\frac25-\frac{\pi}{15}+\frac{\pi k}{5}.
$$

В 19.8.2 знак $\pm$ даёт две серии решений, а после деления на 3 период $2\pi$ уменьшается до $\frac{2\pi}{3}$.

В 19.6.1 и 19.6.2 решений нет именно из-за области значений: синус и косинус не могут быть больше 1.

Проверка. Например, в 19.6.5 после подстановки $4x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ получаем $\cos4x=0$. В 19.8.4 угол $5x-2=-\frac{\pi}{3}+\pi k$ даёт $\operatorname{tg}(5x-2)=-\sqrt3$.