№6.28 реши
Сверь числа и знаки с фото.
6.28. Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC_1\). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Краткий ответ. Сечение — равносторонний треугольник \(MNP\), где
\(N\) — середина \(B_1C_1\), \(P\) — середина \(BB_1\).
\[
S_{\text{сеч}}=\frac{\sqrt3}{8}a^2.
\]
Построение
- В грани \(A_1B_1C_1D_1\) через точку \(M\) проведи прямую, параллельную \(A_1C_1\). Она пересечёт ребро \(B_1C_1\) в его середине — точке \(N\).
- В грани \(ABB_1A_1\) через \(M\) проведи прямую, параллельную \(A_1B\). Она пересечёт \(BB_1\) в его середине — точке \(P\).
- Соедини \(N\) и \(P\). Полученный треугольник \(MNP\) и есть искомое сечение.
Почему оно параллельно плоскости \(A_1BC_1\):
\[
MN\parallel A_1C_1,\qquad MP\parallel A_1B.
\]
Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой, значит, плоскости параллельны.
Вычисление площади
В треугольниках на гранях куба \(MN\), \(MP\), \(NP\) являются средними линиями, поэтому \[ MN=\frac{A_1C_1}{2},\qquad MP=\frac{A_1B}{2},\qquad NP=\frac{BC_1}{2}. \] Все диагонали граней куба равны \(a\sqrt2\), значит, \[ MN=MP=NP=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}. \] Треугольник \(MNP\) равносторонний, поэтому \[ S=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2 =\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{a^2}{2} =\frac{\sqrt3}{8}a^2. \]
Проверка. Площадь треугольника \(A_1BC_1\) равна \(\frac{\sqrt3}{2}a^2\). Наше сечение подобно ему с коэффициентом \(\frac12\), значит, его площадь в \(4\) раза меньше — всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияРисунок сделай
Рисунок (схема) — куб с сечением \(MNP\):
D₁────────────C₁
╱╱ · ────────N │
A₁─────M──────B₁ │
│ · ╱╱ ││ │
│ · ╱╱ ││ │
│ · ╱P │
│ D·············C
│ ╱╱ │ ╱╱
A─────────────B
Что где на чертеже
- \(M\) — середина \(A_1B_1\) (на верхнем переднем ребре);
- \(N\) — середина \(B_1C_1\) (на верхнем «уходящем» ребре, справа вверху);
- \(P\) — середина \(BB_1\) (на переднем правом вертикальном ребре);
- сечение — треугольник \(MNP\); линиями «·» показаны невидимые рёбра \(AD\), \(DC\), \(DD_1\).
Как начертить по шагам
- Нарисуй куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): передняя грань \(ABB_1A_1\) — квадрат, задняя сдвинута вправо-вверх, невидимые рёбра — пунктиром.
- Отметь середины: \(M\) на \(A_1B_1\), \(N\) на \(B_1C_1\), \(P\) на \(BB_1\).
- Соедини \(M\)—\(N\)—\(P\).
- Для проверки: \(MN \parallel A_1C_1\), \(MP \parallel A_1B\), \(NP \parallel BC_1\) — поэтому плоскость \(MNP\) параллельна \(A_1BC_1\), а все три стороны равны \(\frac{a}{\sqrt2}\).
Обрати внимание: в проекции точка \(B_1\) попадает внутрь треугольника \(MNP\) — это нормально, она лежит по другую сторону плоскости сечения.
Если в условии точка \(M\) задана не на ребре \(A_1B_1\), а на другом, напиши — перерисую под твой чертёж.
