реши 19.12
Сверь числа и знаки с фото.
19.12. Найдите решение уравнения на указанном интервале:
- \(\cos 4x + \sin 2x = 0,\quad 90^\circ < x < 180^\circ\);
- \(\sin 5x + \cos 4x = 0,\quad 270^\circ < x < 360^\circ\).
- \(\sin 5x - \cos 4x = 0,\quad 360^\circ < x < 450^\circ\);
- \(\cos 6x - \sin 3x = 0,\quad 90^\circ < x < 180^\circ\).
Коротко:
- \(\cos4x+\sin2x=0\Rightarrow \sin2x=1\) или \(-\frac12\); на интервале \(2x=210^\circ,330^\circ\).
- \(\sin5x=\sin(4x-90^\circ)\): \(x=-90^\circ+360^\circ k\) или \(x=30^\circ+40^\circ k\); подходят \(310^\circ,350^\circ\).
- \(\sin5x=\sin(90^\circ-4x)\): \(x=90^\circ+360^\circ k\) или \(x=10^\circ+40^\circ k\); подходят \(370^\circ,410^\circ\).
- \(\cos6x=\sin3x\Rightarrow \sin3x=\frac12\) или \(-1\); на интервале \(3x=390^\circ,510^\circ\).
Ответ: 1) \(105^\circ,165^\circ\); 2) \(310^\circ,350^\circ\); 3) \(370^\circ,410^\circ\); 4) \(130^\circ,170^\circ\).
Обсуждение
8 сообщенийРеши через дискриминант
Если 19.12 — это те же четыре уравнения, что в прошлом ответе, то дискриминант появляется в 1-м и 4-м.
\(\cos4x+\sin2x=0\). Замена \(t=\sin2x\), \(\cos4x=1-2t^2\): \[ 2t^2-t-1=0,\quad D=1+8=9,\quad t=\frac{1\pm3}{4}. \] \(t=1\) или \(t=-\frac12\). Отсюда \(x=45^\circ+180^\circ k\), \(x=-15^\circ+180^\circ k\), \(x=105^\circ+180^\circ k\). На промежутке: \(105^\circ,165^\circ\).
\(\cos6x=\sin3x\). Замена \(t=\sin3x\), \(\cos6x=1-2t^2\): \[ 2t^2+t-1=0,\quad D=1+8=9,\quad t=\frac{-1\pm3}{4}. \] \(t=\frac12\) или \(t=-1\). Отсюда \(x=10^\circ+120^\circ k\), \(x=50^\circ+120^\circ k\), \(x=90^\circ+120^\circ k\). На промежутке: \(130^\circ,170^\circ\).
\(\sin5x=\sin(4x-90^\circ)\) — не квадратное: \(5x=4x-90^\circ+360^\circ k\) или \(5x=270^\circ-4x+360^\circ k\). На промежутке: \(310^\circ,350^\circ\).
\(\sin5x=\sin(90^\circ-4x)\) — аналогично: \(x=10^\circ+40^\circ k\) или \(x=90^\circ+360^\circ k\). На промежутке: \(370^\circ,410^\circ\).
Если нужны другие уравнения — пришли фото 19.12.
Реши 19.13
19.13 (в п. 2–3 подразумеваю «\(=0\)»):
\(\sin(x-450^\circ)-\cos(3x-180^\circ)=\cos3x-\cos x=0\)
\[ x=90^\circ \]\(\sin(x+270^\circ)-\cos(3x+720^\circ)=-(\cos x+\cos3x)=0\)
\[ x=45^\circ \]\(\cos(-5x-180^\circ)-\sin(4x+630^\circ)=\cos4x-\cos5x=0\)
\[ x=40^\circ;\ 80^\circ \]\(\cos(4x-180^\circ)-\sin(2x+90^\circ)=-(\cos4x+\cos2x)=0\)
\[ x=210^\circ \]
Ответ:
- \(90^\circ\);
- \(45^\circ\);
- \(40^\circ,\ 80^\circ\);
- \(210^\circ\).
Используй формулы приведения
Применяю формулы приведения:
\[ \sin(x-450^\circ)=\sin(x-90^\circ-360^\circ)=-\cos x, \] \[ \cos(3x-180^\circ)=-\cos3x. \] Тогда: \[ -\cos x-(-\cos3x)=0 \Rightarrow \cos3x-\cos x=0. \] После отбора на промежутке: \(x=90^\circ\).
\[ \sin(x+270^\circ)=-\cos x,\qquad \cos(3x+720^\circ)=\cos3x. \] \[ -\cos x-\cos3x=0 \Rightarrow \cos x+\cos3x=0. \] После отбора: \(x=45^\circ\).
\[ \cos(-5x-180^\circ)=\cos(5x+180^\circ)=-\cos5x, \] \[ \sin(4x+630^\circ)=\sin(4x-90^\circ)=-\cos4x. \] \[ -\cos5x-(-\cos4x)=0 \Rightarrow \cos4x-\cos5x=0. \] После отбора: \(x=40^\circ,\ 80^\circ\).
\[ \cos(4x-180^\circ)=-\cos4x,\qquad \sin(2x+90^\circ)=\cos2x. \] \[ -\cos4x-\cos2x=0 \Rightarrow \cos4x+\cos2x=0. \] После отбора: \(x=210^\circ\).
Ответ:
- \(90^\circ\);
- \(45^\circ\);
- \(40^\circ,\ 80^\circ\);
- \(210^\circ\).
Пиши не в градусах а в радианах
Для 19.13 в радианах:
\(x=\frac{\pi}{2}\);
\(x=\frac{\pi}{4}\);
\(x=\frac{2\pi}{9},\ \frac{4\pi}{9}\);
\(x=\frac{7\pi}{6}\).
