решение

Кратко

1. \((x+3)(x-8)(x-20) > 0\) → \[x \in (-3;\,8) \cup (20;\,+\infty)\]

2. \((x-2)(9-x)(x+10) > 0\) → \[x \in (-\infty;\,-10) \cup (2;\,9)\]

Если в №2 требуется «найти целые решения», то это \(…,-13,-12,-11\) и \(3,4,5,6,7,8\).

Принцип: метод интервалов

1. Найди нули каждого множителя (точки, где выражение равно 0).
2. Посмотри на знак «старшего» коэффициента — это произведение иксов из каждого множителя. Он задаёт знак на самом правом промежутке.
3. Дальше знаки чередуются (корни простые, кратность 1).
4. Берёшь промежутки с нужным знаком. Скобки круглые, потому что неравенство строгое.

1) \((x+3)(x-8)(x-20) > 0\)

Нули: \(x=-3,\; 8,\; 20\). Старший коэффициент: \(x\cdot x\cdot x = x^{3} > 0\), значит справа от 20 знак «+».

\[(-\infty;-3):\;-\qquad (-3;8):\;+\qquad (8;20):\;-\qquad (20;+\infty):\;+\]

Нужно \(>0\): \[x \in (-3;\,8) \cup (20;\,+\infty)\]

Проверка. \(x=0\): \(3\cdot(-8)\cdot(-20)=480>0\) — входит. \(x=10\): \(13\cdot2\cdot(-10)=-260<0\) — не входит. \(x=25\): \(28\cdot17\cdot5>0\) — входит. Всё сходится.

2) \((x-2)(9-x)(x+10) > 0\)

Множитель \((9-x)\) даёт «минус» при старшем члене, поэтому сначала умножим обе части на \(-1\) и перевернём знак:

\[(x-2)(x-9)(x+10) < 0\]

Нули те же: \(-10,\; 2,\; 9\). Теперь старший коэффициент положительный:

\[(-\infty;-10):\;-\qquad (-10;2):\;+\qquad (2;9):\;-\qquad (9;+\infty):\;+\]

Нужно \(<0\): \[x \in (-\infty;\,-10) \cup (2;\,9)\]

Проверка. \(x=5\): \(3\cdot4\cdot15=180>0\) — входит. \(x=0\): \((-2)\cdot9\cdot10=-180<0\) — не входит (\(\,0\) лежит в \((-10;2)\)). \(x=-11\): \((-13)\cdot20\cdot(-1)=260>0\) — входит. Верно.

Если в шапке №2 стоит «найдите целые решения», то из полученных промежутков берём целые: \(…,-13,-12,-11\) и \(3,4,5,6,7,8\).

В верхнем круге захвачен ещё множитель \((2x+5)(x-6)(x-17)\), но знак неравенства после него закрыт маркером — пришли этот фрагмент крупнее, и я дорешаю.