Контрольная работа.

Краткий ответ

1в) \((x+5)(x-8)(x-20)>0\;\Rightarrow\; x\in(-5;\,8)\cup(20;\,+\infty)\)

2) \((x-2)(9-x)(x+10)>0\;\Rightarrow\; x\in(-\infty;\,-10)\cup(2;\,9)\); решений бесконечно много (оба промежутка бесконечные).

Метод интервалов: как рассуждать

1) Нули каждого множителя — это границы промежутков. В первом: \(x=-5,\;8,\;20\). Во втором: \(x=2,\;9,\;-10\).

2) Отметить точки на числовой прямой выколотыми — знак строгий (\(>\)), сами нули в ответ не входят.

3) Определить знак на самом правом промежутке. Смотрим на знак произведения при больших \(x\): он равен знаку старшего коэффициента.

4) Расставить знаки чередованием — так можно, потому что все корни простые (входят в первой степени).

Задание 1в

Старший коэффициент: \(x\cdot x\cdot x=x^{3}\), он положительный, значит справа от \(20\) знак «\(+\)». Чередуем:

\[ -\;\;(-5)\;\;+\;\;(8)\;\;-\;\;(20)\;\;+ \]

Нужны промежутки с «\(+\)»:

\[ x\in(-5;\,8)\cup(20;\,+\infty) \]

Проверка точками: \(x=0:\;5\cdot(-8)\cdot(-20)=800>0\) ✔; \(x=10:\;15\cdot2\cdot(-10)=-300<0\) ✔ (не входит); \(x=21:\;26\cdot13\cdot1>0\) ✔; \(x=-6:\;(-1)(-14)(-26)<0\) ✔.

Задание 2 — главная ловушка

Множитель \((9-x)\) стоит с «минусом» при \(x\), поэтому сначала меняем его знак:

\[ (9-x)=-(x-9) \]

\[ (x-2)\cdot\bigl(-(x-9)\bigr)(x+10)>0 \;\Longleftrightarrow\; (x-2)(x-9)(x+10)<0 \]

Знак неравенства перевернулся — это ключевой момент, из-за которого ответ часто получают «зеркальным».

Теперь старший коэффициент положителен, нули: \(-10,\;2,\;9\). Справа от \(9\) знак «\(+\)», чередуем:

\[ -\;\;(-10)\;\;+\;\;(2)\;\;-\;\;(9)\;\;+ \]

Нам нужны «минусы» (в преобразованном неравенстве знак \(<\)):

\[ x\in(-\infty;\,-10)\cup(2;\,9) \]

Проверка: \(x=0:\;(-2)\cdot9\cdot10=-180<0\), но исходное требует \(>0\) — значит \(0\) не решение, и он действительно не попал в ответ ✔; \(x=5:\;3\cdot4\cdot15=180>0\) ✔; \(x=-11:\;(-13)\cdot20\cdot(-1)=260>0\) ✔.

Что запомнить

• Корни → выколотые точки при строгом знаке и закрашенные при \(\le\) / \(\ge\).
• Знак на крайнем правом промежутке = знак старшего коэффициента (после приведения всех скобок к виду \((x-a)\)).
• Если множитель вида \((a-x)\), вынесите минус и переверните знак неравенства.
• Если корень встречается в чётной степени (например, \((x-3)^2\)), знак при переходе через него не меняется — чередование там уже не работает.