358-359-359

Question

358-359-359

Расшифровка фото нейросетью:
Интегралды есептегіле (357 — 358).
358. а) $\int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}$; б) $\int_0^\pi 3\cos\frac{x}{2}\,dx$; в) $\int_1^{10} \frac{dx}{x^2}$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin 2x\,dx$.
359. Төмендегі барабардықтардың орын алышын дәлилдегіле:
а) $\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} = \int_0^1 dx$; б) $\int_0^{\pi/3} \sin x\,dx = \int_{1/16}^{1/4} \frac{dx}{\sqrt{x}}$; в) $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \int_0^{\sqrt[3]{3}} x^2\,dx$; г) $\int_0^1 (2x+1)\,dx = \int_0^2 (x^3-1)\,dx$.

Answer

Қысқа жауап

358. а) $\frac{1}{15}$; б) $6$; в) $\frac{9}{10}$; г) $\frac{1}{2}$.

359. а)–г) барабардықтар дұрыс: екі жағының мәндері сәйкесінше $1$, $\frac{1}{2}$, $1$, $2$.

Негізгі принцип

Анықталған интеграл Ньютон — Лейбниц формуласымен есептеледі:
$$
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),
$$
мұндағы $F'(x)=f(x)$, яғни $F$ — $f$ функциясының алғашқы функциясы.

Жұмыс тәртібі:

1. интеграл астындағы функцияның алғашқы функциясын табамыз;

2. жоғарғы шектегі мәнінен төменгі шектегі мәнін азайтамыз;

3. нәтижені есептейміз.

359-да екі интегралдың түрі әртүрлі болса да, дәлелдеу үшін әрқайсысын жеке есептеп, мәндерін салыстыру жеткілікті.

358. Интегралдарды есептеу

а) $(2x+1)^{-2}$ үшін алғашқы функция $-\frac{1}{2(2x+1)}$:
$$
\int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}
=\left[-\frac{1}{2(2x+1)}\right]_1^2
=-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}
=\frac{1}{15}.
$$
Тексеру: $\left(-\frac{1}{2(2x+1)}\right)'=\frac{1}{(2x+1)^2}$.

б) $3\cos\frac{x}{2}$ үшін алғашқы функция $6\sin\frac{x}{2}$:
$$
\int_0^\pi 3\cos\frac{x}{2}\,dx
=\left[6\sin\frac{x}{2}\right]_0^\pi
=6\sin\frac{\pi}{2}-6\sin 0=6.
$$

в) $x^{-2}$ үшін алғашқы функция $-\frac{1}{x}$:
$$
\int_1^{10}\frac{dx}{x^2}
=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{10}
=-\frac{1}{10}+1=\frac{9}{10}.
$$

г) $\sin 2x$ үшін алғашқы функция $-\frac{1}{2}\cos 2x$:
$$
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx
=\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}
=-\frac{1}{2}\left(\cos\pi-\cos\frac{\pi}{2}\right)
=\frac{1}{2}.
$$

359. Барабардықтарды дәлелдеу

а)
$$
\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}
=\operatorname{tg} x\Big|_0^{\pi/4}=1,
$$
$$
\int_0^1 dx=x\Big|_0^1=1.
$$
Сол жақ та, оң жақ та $1$-ге тең.

б)
$$
\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx
=-\cos x\Big|_0^{\pi/3}
=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
$$
$$
\int_{1/16}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x}}
=2\sqrt{x}\Big|_{1/16}^{1/4}
=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}.
$$
Екі жақ та $\frac{1}{2}$-ге тең.

в)
$$
\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx
=\sin x\Big|_0^{\pi/2}=1,
$$
$$
\int_0^{\sqrt[3]{3}}x^2\,dx
=\frac{x^3}{3}\Big|_0^{\sqrt[3]{3}}
=\frac{3}{3}=1.
$$
Екі жақ та $1$-ге тең.

г)
$$
\int_0^1(2x+1)\,dx
=(x^2+x)\Big|_0^1=2,
$$
$$
\int_0^2(x^3-1)\,dx
=\left(\frac{x^4}{4}-x\right)\Big|_0^2
=4-2=2.
$$
Екі жақ та $2$-ге тең.

Қорытынды: 359-дың барлық пунктінде екі интегралдың сандық мәні бірдей, сондықтан берілген барабардықтар дұрыс.

358-359-359

Обсуждение