17 б обясни

Кратко:
\[ x\approx -0{,}77,\qquad x=2,\qquad x=4. \]

1. Почему нужен график

В уравнении \[ 2^x=x^2 \] переменная стоит и в показателе степени, и в основании. Обычным «уравниванием показателей» его не решить, поэтому строим два графика: \[ y=2^x \quad \text{и}\quad y=x^2. \] Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения этих графиков.

2. Таблица значений

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 2^x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 & 8 & 16\\ x^2 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \end{array} \]

3. Находим точки пересечения

По таблице сразу видны две точки: \[ (2;\,4)\quad \text{и}\quad (4;\,16). \] Проверяем подстановкой: \[ 2^2=4=2^2,\qquad 2^4=16=4^2. \] Значит, \(x=2\) и \(x=4\) — точные корни.

Но есть ещё одна точка пересечения слева, между \(-1\) и \(0\):

• при \(x=-1\): \(2^{-1}=0{,}5\), а \((-1)^2=1\), то есть график \(y=2^x\) ниже параболы;
• при \(x=0\): \(2^0=1\), а \(0^2=0\), то есть график \(y=2^x\) выше параболы.

Значит, графики обязательно пересекаются между \(-1\) и \(0\). По графику это происходит около \[ x\approx -0{,}77. \] Проверка: \[ 2^{-0{,}7667}\approx 0{,}588,\qquad (-0{,}7667)^2\approx 0{,}588. \]

4. Почему других корней нет

Для \(x<0\) функция \[ F(x)=x^2-2^x \] убывает, так как \[ F'(x)=2x-2^x\ln 2<0. \] Поэтому слева от нуля у неё не больше одного нуля — найденный корень \(x\approx-0{,}77\) единственный.

Для \(x>0\) рассмотрим \[ G(x)=\frac{2^x}{x^2}. \] Её производная \[ G'(x)=\frac{2^x(x\ln 2-2)}{x^3} \] показывает, что \(G\) сначала убывает, а после \(x=\frac{2}{\ln2}\approx2{,}9\) возрастает. При этом \[ G(2)=1,\qquad G(4)=1. \] Поэтому равенство \(2^x=x^2\) на положительной полуоси выполняется только при \(x=2\) и \(x=4\).

Ответ

\[ \boxed{x\approx -0{,}77;\quad x=2;\quad x=4.} \]