17 б обясни

Краткий ответ: у уравнения \(2^x=x^2\) три решения: \(x=2\), \(x=4\) и \(x\approx -0{,}77\). Графически это абсциссы трёх точек пересечения графиков \(y=2^x\) и \(y=x^2\).

Как решать графически

1. В одной системе координат строим показательную функцию \(y=2^x\). Она возрастает и проходит через точки \((0;1)\), \((1;2)\), \((2;4)\), \((3;8)\), \((4;16)\).

2. Строим параболу \(y=x^2\) с вершиной в \((0;0)\). Она проходит через \((-2;4)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;4)\), \((3;9)\), \((4;16)\).

3. Находим точки пересечения графиков. Их три: \[ (-0{,}77;\ \approx 0{,}59),\qquad (2;4),\qquad (4;16). \] Абсциссы этих точек и есть корни уравнения: \[ x\approx -0{,}77,\qquad x=2,\qquad x=4. \]

Почему корней именно три

• При \(x<0\) функция \(2^x\) возрастает от \(0\) до \(1\), а \(x^2\) убывает от \(+\infty\) до \(0\), поэтому на промежутке \((-1;0)\) есть ровно одно пересечение. Его можно уточнить: при \(x=-0{,}8\) имеем \(2^{-0{,}8}\approx0{,}574<0{,}64=(-0{,}8)^2\), а при \(x=-0{,}7\) имеем \(2^{-0{,}7}\approx0{,}616>0{,}49=(-0{,}7)^2\). Значит, корень лежит между \(-0{,}8\) и \(-0{,}7\).
• При \(x>0\) по графику видны две точки пересечения: \(x=2\) и \(x=4\). Между ними \(x^2>2^x\) (например, при \(x=3\): \(9>8\)), а после \(4\) снова \(2^x>x^2\) (например, при \(x=5\): \(32>25\)).

Проверка подстановкой

\[ 2^2=4=2^2, \] \[ 2^4=16=4^2, \] \[ 2^{-0{,}766\ldots}\approx0{,}588\approx(-0{,}766\ldots)^2. \]

Целые корни \(2\) и \(4\) находятся точно, а отрицательный корень графическим способом — приближённо. Для школьного ответа этого достаточно; если нужна большая точность, корень уточняют по графику или численно.