1) ∫(5x-6)dx

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. $\int (5x-6)\,dx$

2. $\int \frac{1}{4}(7+\cos x)\,dx$
№1 Найдите значение первообразной функции
$y=x^2$, $y=7$
№2 Найдите значение определённого интеграла

3. $\int (5x^2+\frac{x}{3\pi})\,dx$

4. $\int (4\cos x-5x^2+3)\,dx$

5. $\int_{-2}^{0}(x-5)\,dx$

6. $\int_{0}^{-2}\frac{1}{2}(1-\cos x)\,dx$
№3 Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
$y=x^3$, $y=8$, $x=1$

Answer

На фото несколько заданий по теме «Первообразная и интеграл». Я решил все читаемые пункты.

Краткие ответы

1. $\int(5x-6)\,dx=\frac{5x^2}{2}-6x+C$.

2. $\int\frac14(7+\cos x)\,dx=\frac{7x}{4}+\frac{\sin x}{4}+C$.

№1. Для $y=x^2$: $F(x)=\frac{x^3}{3}+C$. Для $y=7$: $F(x)=7x+C$.

№2.

$\int\left(5x^2+\frac{x}{3\pi}\right)dx=\frac{5x^3}{3}+\frac{x^2}{6\pi}+C$;

$\int(4\cos x-5x^2+3)\,dx=4\sin x-\frac{5x^3}{3}+3x+C$;

$\int_{-2}^{0}(x-5)\,dx=-12$;

$\int_{0}^{-2}\frac12(1-\cos x)\,dx=-1+\frac{\sin2}{2}\approx-0{,}545$.

№3. $S=\frac{17}{4}=4{,}25$.

Правила

Первообразная $F$ функции $f$ — это функция, у которой $F'=f$. Отсюда табличные интегралы:
$$
\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int k\,dx=kx+C.
$$
Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов. Для определённого интеграла применяется формула Ньютона — Лейбница:
$$
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
$$
Площадь фигуры между графиками:
$$
S=\int_a^b (y_{\text{верх}}-y_{\text{низ}})\,dx.
$$

Подробные шаги

1. $\int5x\,dx=5\cdot\frac{x^2}{2}$, $\int6\,dx=6x$, поэтому
$$
\int(5x-6)dx=\frac{5x^2}{2}-6x+C.
$$

2. $\int7\,dx=7x$, $\int\cos x\,dx=\sin x$, поэтому
$$
\int\frac14(7+\cos x)dx=\frac14(7x+\sin x)+C.
$$

№1. Проверяем дифференцированием: $\left(\frac{x^3}{3}\right)'=x^2$, $(7x)'=7$.

№2. Первый интеграл:
$$
\int5x^2dx=\frac{5x^3}{3},\qquad \int\frac{x}{3\pi}dx=\frac{1}{3\pi}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{6\pi}.
$$
Второй интеграл:
$$
\int4\cos x\,dx=4\sin x,\quad \int(-5x^2)dx=-\frac{5x^3}{3},\quad \int3\,dx=3x.
$$
Первый определённый интеграл:
$$
F(x)=\frac{x^2}{2}-5x,\quad F(0)=0,\quad F(-2)=2+10=12,
$$
$$
\int_{-2}^{0}(x-5)dx=F(0)-F(-2)=-12.
$$
Второй определённый интеграл:
$$
F(x)=\frac12(x-\sin x),
$$
$$
\int_{0}^{-2}\frac12(1-\cos x)dx=F(-2)-F(0)=\frac12(-2+\sin2)=-1+\frac{\sin2}{2}\approx-0{,}545.
$$

№3. Находим точку пересечения $y=x^3$ и $y=8$:
$$
x^3=8\Rightarrow x=2.
$$
Фигура ограничена слева прямой $x=1$, поэтому
$$
S=\int_1^2(8-x^3)dx=\left[8x-\frac{x^4}{4}\right]_1^2=(16-4)-\left(8-\frac14\right)=12-\frac{31}{4}=\frac{17}{4}=4{,}25.
$$

Проверка

$\left(\frac{5x^2}{2}-6x\right)'=5x-6$, $\left(\frac{7x}{4}+\frac{\sin x}{4}\right)'=\frac14(7+\cos x)$.

$\left(\frac{5x^3}{3}+\frac{x^2}{6\pi}\right)'=5x^2+\frac{x}{3\pi}$, $\left(4\sin x-\frac{5x^3}{3}+3x\right)'=4\cos x-5x^2+3$.

На $[-2,0]$ функция $x-5<0$, поэтому интеграл должен быть отрицательным; $-12$ подходит.

$\frac12(1-\cos x)\ge0$, но пределы идут от $0$ к $-2$, поэтому результат отрицателен; $-0{,}545$ подходит.

Площадь $4{,}25$: область между $y=8$ и $y=x^3$ на $[1,2]$, средняя высота около $4{,}25$.

Если в №1 требовалось значение первообразной в конкретной точке, на фото этой точки не видно — пришли фрагмент крупнее.