реши дискриминант

Пример с \(D<0\)

Возьмём уравнение

\[ x^{2}+2x+5=0. \]

Здесь \(a=1\), \(b=2\), \(c=5\), поэтому

\[ D=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16. \]

Так как \(D<0\), действительных корней нет — уравнение не имеет решений в обычных числах.

Что это значит на графике

Парабола \(y=x^{2}+2x+5\) не пересекает ось \(Ox\), потому что корни уравнения \(x^{2}+2x+5=0\) — это как раз точки пересечения графика с осью \(Ox\). Ветви направлены вверх (\(a=1>0\)), а вершина лежит выше оси:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,\qquad y_{\text{в}}=-\frac{D}{4a}=-\frac{-16}{4}=4. \]

Вершина в точке \((-1;\,4)\), вся парабола выше оси. Это же видно и без формул: \(x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4>0\) при любом \(x\) — сумма квадрата и положительного числа.

Как самому придумать такое уравнение

Нужно, чтобы выполнялось \(b^{2}<4ac\). Проще всего взять \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\):

\[ x^{2}+x+1=0,\qquad D=1-4=-3<0. \]

Ещё примеры: \(2x^{2}-3x+4=0\) (\(D=9-32=-27\)), \(3x^{2}+x+2=0\) (\(D=1-24=-23\)).

Итог

\[ \begin{cases} D>0 & \text{два разных корня},\\ D=0 & \text{один корень (двукратный)},\\ D<0 & \text{корней нет, парабола не пересекает } Ox. \end{cases} \]

Небольшое уточнение: на фото — другое задание, №88 про построение графиков с помощью шаблона параболы, а не про дискриминант. Если нужно разобрать и его (например, пункты «а» и «б»: \(y=x^{2}-4\) и \(y=-x^{2}+3\)), скажи — покажу, как строить.

Пункт б) из №88: \(y=-x^{2}+3\)

Беру функцию из пункта «б», который мы определили по фото. Это парабола с вершиной в точке \((0;\,3)\), ветви направлены вниз. Она получается из шаблона \(y=-x^{2}\) сдвигом на \(3\) единицы вверх.

Таблица точек

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & -6 & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 & -6 \end{array} \]

Как строить

1. Базовый шаблон. Сначала вспомни график \(y=-x^{2}\): это обычная парабола \(y=x^{2}\), перевёрнутая ветвями вниз, с вершиной в начале координат.
2. Сдвиг. В формуле \(y=-x^{2}+3\) к каждому значению \(y\) прибавляется \(3\). Значит, каждую точку шаблона поднимаем на \(3\) клетки вверх. Вершина \((0;\,0)\) переходит в \((0;\,3)\).
3. Отмечаем точки из таблицы и соединяем плавной линией. Крайние точки ветвей на рисунке можно взять и дальше: при \(x=\pm 4\) получится \(y=-13\).
4. Ось симметрии — прямая \(x=0\) (ось \(Oy\)): график симметричен относительно неё, поэтому достаточно посчитать точки для \(x\ge 0\), а левую часть отразить.

Пересечения с осями и свойства

• С осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=3\), точка \((0;\,3)\) — это вершина.
• С осью \(Ox\): решаем \(-x^{2}+3=0\), откуда \(x^{2}=3\) и \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\). Точки пересечения: \((-\sqrt{3};\,0)\) и \((\sqrt{3};\,0)\).
• Область значений: \(y\le 3\), так как \(-x^{2}\le 0\).
• Функция чётная: \(y(-x)=y(x)\). Возрастает при \(x\le 0\), убывает при \(x\ge 0\).

Проверка

Подставим, например, \(x=2\): \(y=-4+3=-1\) — совпадает с таблицей. Подставим \(x=\sqrt{3}\): \(y=-3+3=0\) — точка действительно лежит на оси \(Ox\). Вершина \((0;\,3)\) — самая высокая точка графика, что верно для параболы с ветвями вниз.

Ответ: график — парабола с вершиной \((0;\,3)\), ветвями вниз, проходящая через точки \((-3;\,-6)\), \((-2;\,-1)\), \((-1;\,2)\), \((0;\,3)\), \((1;\,2)\), \((2;\,-1)\), \((3;\,-6)\) и пересекающая ось \(Ox\) в точках \(x=\pm\sqrt{3}\).

Если в пункте «б» у тебя записана другая функция, напиши её — перестрою график под неё.

Таблица значений для №88

Скорее всего, в тетради нужна таблица для обоих пунктов при \(x\) от \(-3\) до \(3\). Вот готовые значения:

\[ \begin{array}{c|c|c} x & y=x^{2}-4\ \text{(а)} & y=-x^{2}+3\ \text{(б)}\\ \hline -3 & 5 & -6\\ -2 & 0 & -1\\ -1 & -3 & 2\\ 0 & -4 & 3\\ 1 & -3 & 2\\ 2 & 0 & -1\\ 3 & 5 & -6 \end{array} \]

Как считались значения

Для пункта «а» подставляем \(x\) в \(y=x^{2}-4\): например, при \(x=-2\) получаем \(y=(-2)^{2}-4=4-4=0\); при \(x=0\) будет \(y=0-4=-4\) — это вершина.

Для пункта «б» подставляем в \(y=-x^{2}+3\): при \(x=-2\) получаем \(y=-4+3=-1\); при \(x=0\) будет \(y=3\) — вершина.

Обрати внимание: в обоих случаях значения симметричны относительно \(x=0\), потому что обе функции чётные (\(x^{2}\) одинаков при \(x\) и \(-x\)). Поэтому можно считать только для \(x\ge 0\), а левую половину просто переписать.

Проверка

• Пункт «а»: нули функции при \(x=\pm 2\) — в таблице там стоят \(0\). Вершина \((0;\,-4)\) — самая низкая точка, ветви вверх.
• Пункт «б»: нули при \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\) — между \(-2\) и \(-1\), а также между \(1\) и \(2\), что согласуется со сменой знака в таблице (\(-1\to 2\) и \(2\to-1\)). Вершина \((0;\,3)\) — самая высокая точка, ветви вниз.

Если в твоём учебнике в таблице другие значения \(x\) (например, от \(-4\) до \(4\) или с шагом \(0{,}5\)), напиши, какие именно — пересчитаю под них.

Графики №88: строим оба

Строю по данным из таблицы. Функции:

\[ \text{а) } y=x^{2}-4 \qquad \text{б) } y=-x^{2}+3 \]

Рисунок я показать не могу, но ниже всё, чтобы точно построить самому за пару минут.

Общий приём: сдвиг шаблона

1. Начерти оси \(Ox\) и \(Oy\), возьми масштаб 1 клетка = 1 единица.
2. Пунктиром построй шаблон \(y=x^{2}\) (вершина в \((0;0)\), проходит через \((\pm1;1)\), \((\pm2;4)\), \((\pm3;9)\)).
3. Для «а» опусти каждую точку шаблона на \(4\) клетки вниз (вершина уйдёт в \((0;-4)\)) — получишь \(y=x^{2}-4\).
4. Для «б» возьми шаблон \(y=-x^{2}\) (ветви вниз) и подними его на \(3\) клетки вверх — вершина в \((0;3)\).

График а) \(y=x^{2}-4\)

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \end{array} \]

• Вершина: \((0;\,-4)\), ветви вверх.
• Пересекает \(Ox\) в точках \((-2;\,0)\) и \((2;\,0)\).
• Ось симметрии: \(x=0\). Область значений \(y\ge -4\).
• На бумаге: отмечаешь 7 точек из таблицы, соединяешь плавной линией, левую часть можно отразить от правой.

График б) \(y=-x^{2}+3\)

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & -6 & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 & -6 \end{array} \]

• Вершина: \((0;\,3)\), ветви вниз.
• Пересекает \(Ox\) в точках \(x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\) — между \(-2\) и \(-1\), а также между \(1\) и \(2\).
• Ось симметрии: \(x=0\). Область значений \(y\le 3\).

Как проверить свой чертёж

• Оба графика симметричны относительно оси \(Oy\) — левая и правая ветви «зеркальные».
• У «а» крайние точки выше вершины, у «б» — ниже: ветви смотрят в разные стороны.
• График «б» целиком лежит не выше прямой \(y=3\), график «а» — не ниже прямой \(y=-4\).
• В точках из таблицы линия должна проходить ровно через отмеченные клетки — если «не попадает», сбейся масштаб.

Если в задании под «Функция» имелась в виду другая формула (сообщение оборвалось), напиши её — построю таблицу и описание под неё.

Точки для графика б) \(y=-x^{2}+3\)

Отмечай на начерченных осях именно эти семь точек:

\[ (-3;\,-6),\quad (-2;\,-1),\quad (-1;\,2),\quad (0;\,3),\quad (1;\,2),\quad (2;\,-1),\quad (3;\,-6) \]

Вершина — \((0;\,3)\). Точки симметричны относительно оси \(Oy\), поэтому слева и справа картина зеркальная.

Как ставить каждую точку (1 клетка = 1 единица)

1. \((0;\,3)\) — на оси \(Oy\) поднимись на 3 клетки вверх от начала координат.
2. \((-1;\,2)\) и \((1;\,2)\) — влево и вправо на 1 клетку от оси, вверх на 2.
3. \((-2;\,-1)\) и \((2;\,-1)\) — на 2 клетки в стороны, вниз на 1.
4. \((-3;\,-6)\) и \((3;\,-6)\) — на 3 клетки в стороны, вниз на 6 (это нижний край твоего листа с осью \(y\)).

Ставь точки точками-«жирными» и подписывай рядом координаты — так удобнее проверять. Затем соедини их плавной линией: вверху у вершины линия «круглая», книзу ветви уходят вниз, никаких углов и изломов. Через точки из таблицы линия должна проходить точно.

Важно: поправь записи справа

У тебя в расчётах потерян минус перед \(x^{2}\). Правильно так:

\[ y=-(-3)^{2}+3=-9+3=-6,\quad y=-(-2)^{2}+3=-4+3=-1, \] \[ y=-(-1)^{2}+3=-1+3=2,\quad y=-0^{2}+3=3. \]

И есть ошибка в строке для \(x=1\): там должно быть

\[ y=-1^{2}+3=-1+3=2, \]

а не \(-2\). В таблице у тебя стоит правильное значение \(2\) — значит, ошибка только в записи вычисления.

Проверка

• Все значения таблицы и точки выше совпадают между собой.
• Нули функции: \(-x^{2}+3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\) — график пересекает ось \(Ox\) чуть ближе к центру, чем точки с \(x=\pm2\). Эти две точки \((\pm\sqrt{3};\,0)\) тоже можно отметить на оси.
• Ветви направлены вниз, потому что перед \(x^{2}\) стоит минус; выше \(y=3\) график не поднимается.

Если нужно, так же распишу точки для пункта а) \(y=x^{2}-4\): \((-3;\,5),(-2;\,0),(-1;\,-3),(0;\,-4),(1;\,-3),(2;\,0),(3;\,5)\).