Теорема косинусов

Кратко: в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В треугольнике \(ABC\) обозначим:

• \(a=BC\) — сторона против угла \(A\);
• \(b=AC\), \(c=AB\).

Тогда теорема косинусов записывается так:

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

Аналогично:

\[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]

Как понимать формулу

Если угол \(A\) прямой, то \(\cos A=0\), и получается теорема Пифагора:

\[ a^2=b^2+c^2. \]

То есть теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора на любые треугольники.

Если угол \(A\) острый, то \(\cos A>0\), и поправка \(2bc\cos A\) уменьшает результат.
Если угол \(A\) тупой, то \(\cos A<0\), поэтому вычитание отрицательного числа увеличивает \(a^2\).

Короткий вывод через координаты

Поместим точку \(A\) в начало координат, сторону \(AB\) направим по оси \(Ox\). Тогда:

\[ A(0;0),\quad B(c;0),\quad C(b\cos A;\,b\sin A). \]

Найдём длину \(BC\):

\[ BC^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2. \]

Раскрываем скобки:

\[ BC^2=b^2\cos^2 A-2bc\cos A+c^2+b^2\sin^2 A. \]

Так как \(\cos^2 A+\sin^2 A=1\), получаем:

\[ BC^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

Но \(BC=a\), поэтому:

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

Пример

Пусть \(b=7\), \(c=5\), а угол между ними \(A=60^\circ\). Тогда:

\[ a^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cdot\cos60^\circ =49+25-70\cdot\frac12=39. \]

Значит,

\[ a=\sqrt{39}. \]

Когда применять

• Знаем две стороны и угол между ними — находим третью сторону.
• Знаем три стороны — находим угол:

\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. \]

Главное: угол в формуле должен быть между двумя известными сторонами.