Вариант-3 1. Представьте в виде дроби: а) 28b⁶/c³ · c⁵/84b⁶; б) 30x²y : 72xy/z

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант-3

1. Представьте в виде дроби:
а) $\frac{28b^6}{c^3} \cdot \frac{c^5}{84b^6}$;
б) $30x^2y : \frac{72xy}{z}$;
в) $\frac{3x+6}{x+3} \cdot \frac{x^2-9}{x^2-4}$;
г) $\frac{2a-b}{a} \cdot \left(\frac{a}{2a-b} + \frac{a}{b}\right)$.

2. Постройте график функции $y=\frac{4}{x}$. При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? Какова область определения функции?

3. Докажите, что при всех значениях $y \ne \pm 3$ значение выражения
$$ (y-3)^2 \cdot \left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)+\frac{2y}{y+3} $$
не зависит от $y$.

Answer

Краткий ответ

1. а) $\dfrac{c^2}{3}$;
б) $\dfrac{5xz}{12}$;
в) $\dfrac{3(x-3)}{x-2}$;
г) $\dfrac{2a}{b}$.

2. Отрицательные значения: при $x<0$.
Область определения: $x\ne 0$, то есть $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.
График — гипербола $y=\dfrac4x$: две ветви в I и III координатных четвертях.

3. Значение выражения равно $3$, поэтому оно не зависит от $y$.

Решение

1. Упрощение выражений

а)
$$
\frac{28b^6}{c^3}\cdot\frac{c^5}{84b^6}
=
\frac{28}{84}\cdot\frac{b^6}{b^6}\cdot\frac{c^5}{c^3}
=
\frac13\cdot 1\cdot c^2
=
\frac{c^2}{3}.
$$

б)
$$
30x^2y:\frac{72xy}{z}
=
30x^2y\cdot\frac{z}{72xy}
=
\frac{30}{72}\cdot xz
=
\frac{5xz}{12}.
$$

в) Сначала раскладываем на множители:
$$
3x+6=3(x+2),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2).
$$
Тогда
$$
\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}
=
\frac{3(x+2)}{x+3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}
=
\frac{3(x-3)}{x-2}.
$$

г)
$$
\frac{2a-b}{a}\left(\frac{a}{2a-b}+\frac{a}{b}\right)
=
\frac{2a-b}{a}\cdot\frac{ab+a(2a-b)}{b(2a-b)}.
$$
В числителе:
$$
ab+a(2a-b)=ab+2a^2-ab=2a^2.
$$
Значит,
$$
\frac{2a-b}{a}\cdot\frac{2a^2}{b(2a-b)}
=
\frac{2a}{b}.
$$

Не забывай про допустимые значения: в исходных дробях знаменатели не равны нулю. Например, в а) $b\ne0,\ c\ne0$; в в) $x\ne-3,\ x\ne\pm2$; в г) $a\ne0,\ b\ne0,\ 2a\ne b$.

2. Функция $y=\dfrac4x$

Это обратная пропорциональность. Заполним таблицу:

$x$ |
$-4$ |
$-2$ |
$-1$ |
$1$ |
$2$ |
$4$ |

$y=\dfrac4x$ |
$-1$ |
$-2$ |
$-4$ |
$4$ |
$2$ |
$1$ |

На координатной плоскости получаются две ветви гиперболы: одна в I четверти, другая в III. Оси координат являются асимптотами: $x=0$ и $y=0$.

Так как числитель $4>0$, знак $y$ совпадает со знаком $x$. Поэтому:
$$
y<0 \quad \text{при } x<0.
$$
Область определения:
$$
x\ne0,\qquad D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).
$$

3. Доказательство независимости от $y$

$$
9-6y+y^2=(y-3)^2,
\qquad
9-y^2=(3-y)(3+y).
$$

Преобразуем выражение:
$$
\begin{aligned}
&(y-3)^2\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)+\frac{2y}{y+3}\
&=2+\frac{(y-3)^2}{(3-y)(3+y)}+\frac{2y}{y+3}\
&=2-\frac{y-3}{y+3}+\frac{2y}{y+3}\
&=2+\frac{3-y+2y}{y+3}\
&=2+\frac{y+3}{y+3}\
&=2+1=3.
\end{aligned}
$$

При $y\ne -3$ сокращение на $y+3$ законно, а при $y\ne3$ определены исходные дроби. Получили постоянное число $3$, значит, выражение действительно не зависит от $y$.

Проверка: при $y=0$:
$$
9\left(\frac29+\frac19\right)+0=9\cdot\frac13=3.
$$

Вариант-3 1. Представьте в виде дроби: а) 28b⁶/c³ · c⁵/84b⁶; б) 30x²y : 72xy/z

1. Упрощение выражений

2. Функция \(y=\dfrac4x\)

3. Доказательство независимости от \(y\)