Сократите дробь

Картинку я создать не могу, но вот готовый вариант, который можно сразу переписать:

\[ \frac{c^2+c-6}{7c+21}=\frac{(c+3)(c-2)}{7(c+3)}=\frac{c-2}{7}, \qquad c\ne -3. \]

Ответ: \(\dfrac{c-2}{7}\).

Решение неравенств с доски

Левый столбик

а)
\[ x^2-8x+15>0 \] \[ x^2-8x+15=(x-3)(x-5) \] Корни: \(x_1=3,\ x_2=5\). Парабола ветвями вверх, значит: \[ x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty). \]

б)
\[ 3x^2+11x-4<0 \] \[ D=11^2-4\cdot3\cdot(-4)=121+48=169=13^2 \] \[ x_{1,2}=\frac{-11\pm13}{6} \] \[ x_1=\frac{2}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{-24}{6}=-4 \] Неравенство меньше нуля, значит между корнями: \[ -4<x<\frac13, \] \[ x\in\left(-4;\frac13\right). \]

---

Правый столбик

а)
\[ x^2-10x+21<0 \] \[ x^2-10x+21=(x-3)(x-7) \] Корни: \(3\) и \(7\). Значения меньше нуля между корнями: \[ 3<x<7, \] \[ x\in(3;7). \]

б)
\[ 4x^2+11x-3>0 \] \[ D=11^2-4\cdot4\cdot(-3)=121+48=169=13^2 \] \[ x_{1,2}=\frac{-11\pm13}{8} \] \[ x_1=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{-24}{8}=-3 \] Неравенство больше нуля, значит: \[ x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right). \]

Итог:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &x^2-8x+15>0 &&\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty);\\ &3x^2+11x-4<0 &&\Leftrightarrow\quad x\in\left(-4;\frac13\right);\\ &x^2-10x+21<0 &&\Leftrightarrow\quad x\in(3;7);\\ &4x^2+11x-3>0 &&\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right). \end{aligned}} \]

Скобки круглые, потому что неравенства строгие — сами корни в ответ не входят.

Я понял: это образец оформления первого задания — сокращение дроби через разложение квадратного трёхчлена на множители.

На доске разобрано:

\[ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9} \]

1. Раскладываем числитель. Решаем уравнение:

\[ 2a^2-5a-3=0 \]

\[ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49 \]

\[ a_{1}=\frac{5+7}{4}=3,\qquad a_{2}=\frac{5-7}{4}=-\frac12 \]

Значит,

\[ 2a^2-5a-3=2(a-3)\left(a+\frac12\right) \]

2. Раскладываем знаменатель:

\[ 3a-9=3(a-3) \]

3. Сокращаем:

\[ \frac{2(a-3)\left(a+\frac12\right)}{3(a-3)} = \frac{2\left(a+\frac12\right)}{3} = \frac{2a+1}{3} \]

\[ \boxed{\frac{2a^2-5a-3}{3a-9}=\frac{2a+1}{3}},\qquad a\ne 3 \]

Пришли само выражение из первого задания — оформлю решение точно по этому образцу.

По фото твой 2 вариант. Вот готовое решение — можно сразу переписывать.

1. Сократите дробь

\[ \frac{c^2+c-6}{7c+21} \]

1) Раскладываем числитель. Решаем уравнение:

\[ c^2+c-6=0 \]

\[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \]

\[ c_{1,2}=\frac{-1\pm5}{2} \]

\[ c_1=2,\qquad c_2=-3 \]

Значит,

\[ c^2+c-6=(c-2)(c+3) \]

2) Раскладываем знаменатель:

\[ 7c+21=7(c+3) \]

3) Подставляем и сокращаем на \(c+3\):

\[ \frac{c^2+c-6}{7c+21} = \frac{(c-2)(c+3)}{7(c+3)} = \frac{c-2}{7} \]

При этом \(c+3\ne0\), то есть \(c\ne-3\).

\[ \boxed{\frac{c^2+c-6}{7c+21}=\frac{c-2}{7}},\qquad c\ne-3 \]

---

2. Решите неравенство

а)

\[ x^2-10x+21<0 \]

Находим корни:

\[ x^2-10x+21=0 \]

\[ D=100-84=16 \]

\[ x_{1,2}=\frac{10\pm4}{2} \]

\[ x_1=7,\qquad x_2=3 \]

Парабола ветвями вверх, значения меньше нуля — между корнями:

\[ 3<x<7 \]

\[ \boxed{x\in(3;7)} \]

б)

\[ 4x^2+11x-3>0 \]

Находим корни:

\[ 4x^2+11x-3=0 \]

\[ D=11^2-4\cdot4\cdot(-3)=121+48=169=13^2 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-11\pm13}{8} \]

\[ x_1=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{-24}{8}=-3 \]

Парабола ветвями вверх, значения больше нуля — вне корней:

\[ x<-3 \quad \text{или}\quad x>\frac14 \]

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right)} \]

---

Ответы по 2 варианту:

\[ \boxed{\frac{c^2+c-6}{7c+21}=\frac{c-2}{7},\quad c\ne-3} \]

\[ \boxed{\text{а) }x\in(3;7);\qquad \text{б) }x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right)} \]

Скобки круглые, потому что неравенства строгие — сами корни в ответ не входят.

Понял — оформляю всё через дискриминант (с формулой \(D=b^2-4ac\) и \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)).

1. Сократите дробь

\[ \frac{c^2+c-6}{7c+21} \]

1) Приравниваем числитель к нулю и решаем через дискриминант:

\[ c^2+c-6=0 \]

\[ a=1,\quad b=1,\quad c=-6 \]

\[ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25>0 \]

\[ \sqrt{D}=\sqrt{25}=5 \]

\[ c_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm5}{2} \]

\[ c_1=\frac{-1+5}{2}=2,\qquad c_2=\frac{-1-5}{2}=-3 \]

По формуле \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\):

\[ c^2+c-6=(c-2)(c+3) \]

2) Раскладываем знаменатель:

\[ 7c+21=7(c+3) \]

3) Подставляем и сокращаем на \(c+3\):

\[ \frac{c^2+c-6}{7c+21} = \frac{(c-2)(c+3)}{7(c+3)} = \frac{c-2}{7} \]

\[ \boxed{\frac{c^2+c-6}{7c+21}=\frac{c-2}{7}},\qquad c\ne-3 \]

---

2. Решите неравенство

а)

\[ x^2-10x+21<0 \]

\[ a=1,\quad b=-10,\quad c=21 \]

\[ D=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot1\cdot21=100-84=16>0 \]

\[ \sqrt{D}=4 \]

\[ x_{1,2}=\frac{10\pm4}{2} \]

\[ x_1=\frac{10+4}{2}=7,\qquad x_2=\frac{10-4}{2}=3 \]

Ветви параболы направлены вверх \((a=1>0)\), поэтому значения меньше нуля — между корнями:

\[ 3<x<7 \]

\[ \boxed{x\in(3;7)} \]

б)

\[ 4x^2+11x-3>0 \]

\[ a=4,\quad b=11,\quad c=-3 \]

\[ D=b^2-4ac=11^2-4\cdot4\cdot(-3)=121+48=169>0 \]

\[ \sqrt{D}=13 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-11\pm13}{2\cdot4}=\frac{-11\pm13}{8} \]

\[ x_1=\frac{-11+13}{8}=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{-11-13}{8}=\frac{-24}{8}=-3 \]

Ветви вверх \((a=4>0)\), значения больше нуля — вне корней:

\[ x<-3 \quad \text{или}\quad x>\frac14 \]

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right)} \]

---

Итог:

\[ \boxed{\frac{c^2+c-6}{7c+21}=\frac{c-2}{7},\quad c\ne-3} \]

\[ \boxed{\text{а) }x\in(3;7);\qquad \text{б) }x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac14;+\infty\right)} \]

Во всех трёх случаях \(D>0\), поэтому корней по два, а скобки в ответах круглые — неравенства строгие, сами корни не входят.