сделай номер 103 но только так

Question

Расшифровка фото нейросетью:
103 Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график:
а) значение $y$ при $x=-2{,}3; -0{,}5; 1{,}2$;
б) значение $x$, при которых $y=-4; -1; 1{,}7$;
в) нули функции, промежутки, в которых $y>0, y<0$;
г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

№101.
а) $y=x^2-4x+7$.
Вершина: $A(2;3)$.
Ось симметрии: $x=2$.
$m=-b/(2a)=-(-4)/(2\cdot1)=4/2=2$; $n=2^2-4\cdot2+7=4-8+7=3$.
[Рисунок: парабола с вершиной в точке $(2;3)$, ось симметрии $x=2$.]
б) $y=-2x^2-5x-2$.
Вершина: $B(-1{,}25;1{,}125)$.

Пример 3.
[Рисунок: фрагмент графика параболы.]
Таблица значений:
$x$: $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$;
$y$: $2\frac{1}{4}, 1, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{4}, 1, 2\frac{1}{4}$.

Answer

Кратко: ниже — только № 103, оформление таблицей, как в образце.
$$
y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6.
$$
Вершина параболы — $(-2;-6)$, ветви направлены вверх, ось симметрии $x=-2$. Нули функции: $x=-2\pm\sqrt3$, наименьшее значение $-6$.

Таблица для построения графика

$x$ |
$-5$ |
$-4$ |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |

$y$ |
$12$ |
$2$ |
$-4$ |
$-6$ |
$-4$ |
$2$ |
$12$ |

Отметь эти точки на координатной плоскости и проведи через них плавную симметричную параболу. Ось симметрии — вертикальная прямая $x=-2$.

а) Значение $y$ при данных $x$

$$
y(-2{,}3)=2(-0{,}3)^2-6=-5{,}82\approx-5{,}8;
$$
$$
y(-0{,}5)=2(1{,}5)^2-6=-1{,}5;
$$
$$
y(1{,}2)=2(3{,}2)^2-6=14{,}48\approx14{,}5.
$$

б) Значения $x$, при которых $y$ равно указанному числу

Решаем $2(x+2)^2-6=y$:

если $y=-4$, то $(x+2)^2=1$, значит
$$
x=-3 \quad \text{или}\quad x=-1;
$$

если $y=-1$, то $(x+2)^2=2{,}5$, значит
$$
x=-2\pm\sqrt{2{,}5}\approx -3{,}58;\ -0{,}42;
$$

если $y=1{,}7$, то $(x+2)^2=3{,}85$, значит
$$
x=-2\pm\sqrt{3{,}85}\approx -3{,}96;\ -0{,}04.
$$

в) Нули и знаки функции

Нули:
$$
2(x+2)^2-6=0
\Rightarrow
(x+2)^2=3
\Rightarrow
x=-2\pm\sqrt3.
$$
То есть
$$
x\approx-3{,}73 \quad \text{и}\quad x\approx-0{,}27.
$$

Так как парабола направлена ветвями вверх:

$$
y>0 \quad \text{при } x\in(-\infty;-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+\infty);
$$
$$
y<0 \quad \text{при } x\in(-2-\sqrt3;-2+\sqrt3).
$$

г) Возрастание, убывание и наименьшее значение

Функция убывает на промежутке
$$
(-\infty;-2],
$$
возрастает на промежутке
$$
[-2;+\infty).
$$
Наименьшее значение функции:
$$
y_{\min}=-6
$$
достигается при $x=-2$.

Проверка: $y(-2)=2\cdot4+8\cdot(-2)+2=8-16+2=-6$ — это вершина параболы.

сделай номер 103 но только так

Обсуждение