Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\).
Как рассуждать:
Уравнение имеет вид \(x^2-5x+6=0\). Найдём дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]
То есть:
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Можно было заметить и разложение:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Значит, произведение равно нулю, когда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни, зачем нужен дискриминант
Коротко: дискриминант \(D=b^2-4ac\) — это «индикатор» квадратного уравнения: по его знаку сразу видно, сколько у уравнения корней, ещё до всяких вычислений. А ещё он же стоит под корнем в формуле корней — поэтому без него эту формулу и не записать.
Откуда он берётся. Возьмём \(ax^2+bx+c=0\) и выделим полный квадрат:
\[ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \]
Слева стоит квадрат (умноженный на \(a\)), а квадрат не бывает отрицательным. Значит, всё зависит от знака правой части, то есть от знака \(D=b^2-4ac\). Отсюда три случая:
| \(D\) | Корни | График \(y=ax^2+bx+c\) |
|---|---|---|
| \(D>0\) | два разных | парабола пересекает ось \(Ox\) в двух точках |
| \(D=0\) | один (двойной) | парабола касается оси \(Ox\) |
| \(D<0\) | действительных нет | парабола не доходит до оси \(Ox\) |
На примерах:
- \(x^2-5x+6=0\): \(D=25-24=1>0\) — два корня, \(2\) и \(3\). Парабола пересекает ось в двух точках.
- \(x^2-2x+1=0\): \(D=4-4=0\) — корень один: \(x=1\). Это \((x-1)^2=0\), парабола касается оси.
- \(x^2+x+1=0\): \(D=1-4=-3<0\) — корней нет: \(x^2+x+1\) всегда положительно.
Зачем это на практике: дискриминант экономит работу. Увидев \(D<0\), ты не тратишь время на формулу корней — сразу пишешь «корней нет». А в задачах с параметром он вообще главный инструмент: вопрос «при каких \(a\) уравнение имеет два корня?» — это вопрос «при каких \(a\) выполняется \(D>0\)?».
Название, кстати, говорящее: discriminant — «различающий», он различает три случая.
