реши систему уравнений
Сверь числа и знаки с фото.
Г) \(\begin{cases}x-y=3a,\\xy=4a^2;\end{cases}\) В) \(\begin{cases}x+y=3a,\\xy=2a^2.\end{cases}\)
На фото две системы — Г) и В). Считаю \(a\) параметром.
Краткий ответ: \[ \text{Г)}\quad (x,y)=(-a,-4a)\ \text{или}\ (4a,a); \] \[ \text{В)}\quad (x,y)=(a,2a)\ \text{или}\ (2a,a). \]
При \(a=0\) в каждой системе обе пары совпадают, то есть остаётся одно решение \((0,0)\).
Система Г)
\[ \begin{cases} x-y=3a,\\ xy=4a^2. \end{cases} \]
Из первого уравнения: \[ x=y+3a. \]
Подставляем во второе: \[ (y+3a)y=4a^2, \] \[ y^2+3ay-4a^2=0. \]
Разложим на множители: \[ (y+4a)(y-a)=0. \]
Значит:
- если \(y=-4a\), то \(x=-4a+3a=-a\);
- если \(y=a\), то \(x=a+3a=4a\).
Получаем пары: \[ (-a,-4a),\qquad (4a,a). \]
Проверка для \((4a,a)\): \[ 4a-a=3a,\qquad 4a\cdot a=4a^2. \]
Система В)
\[ \begin{cases} x+y=3a,\\ xy=2a^2. \end{cases} \]
Из первого уравнения: \[ y=3a-x. \]
Подставляем: \[ x(3a-x)=2a^2, \] \[ 3ax-x^2=2a^2, \] \[ x^2-3ax+2a^2=0. \]
Разложим: \[ (x-a)(x-2a)=0. \]
Значит:
- если \(x=a\), то \(y=2a\);
- если \(x=2a\), то \(y=a\).
Получаем пары: \[ (a,2a),\qquad (2a,a). \]
Проверка для \((a,2a)\): \[ a+2a=3a,\qquad a\cdot 2a=2a^2. \]
Принцип: из линейного уравнения выражаем одну переменную, подставляем в уравнение с произведением, получаем квадратное уравнение и находим обе переменные.
Обсуждение
2 сообщенияТам что то через дискриминант надо решить
Да, можно решить через дискриминант — это то же самое, что разложение на множители, только более общим способом.
Г)
\[ \begin{cases} x-y=3a,\\ xy=4a^2. \end{cases} \]
Из первого уравнения: \[ x=y+3a. \]
Подставляем во второе: \[ (y+3a)y=4a^2, \] \[ y^2+3ay-4a^2=0. \]
Считаем дискриминант: \[ D=(3a)^2-4\cdot1\cdot(-4a^2)=9a^2+16a^2=25a^2. \]
Тогда \[ y_{1,2}=\frac{-3a\pm\sqrt{25a^2}}{2} =\frac{-3a\pm5|a|}{2}. \]
Корни получаются: \[ y=a,\qquad y=-4a. \]
Возвращаемся к \(x=y+3a\):
- если \(y=a\), то \(x=a+3a=4a\);
- если \(y=-4a\), то \(x=-4a+3a=-a\).
Ответ: \[ (-a,-4a),\qquad (4a,a). \]
В)
\[ \begin{cases} x+y=3a,\\ xy=2a^2. \end{cases} \]
Из первого уравнения: \[ y=3a-x. \]
Подставляем: \[ x(3a-x)=2a^2, \] \[ 3ax-x^2=2a^2, \] \[ x^2-3ax+2a^2=0. \]
Дискриминант: \[ D=(-3a)^2-4\cdot1\cdot2a^2 =9a^2-8a^2=a^2. \]
Тогда \[ x_{1,2}=\frac{3a\pm\sqrt{a^2}}{2} =\frac{3a\pm|a|}{2}. \]
Корни: \[ x=a,\qquad x=2a. \]
Находим \(y=3a-x\):
- если \(x=a\), то \(y=2a\);
- если \(x=2a\), то \(y=a\).
Ответ: \[ (a,2a),\qquad (2a,a). \]
При \(a=0\) обе пары совпадают и дают единственное решение \((0,0)\).
