1. Функцияның анықталу облысын табыңыз: а) y = 3/(x+7); б) f(x) = √(3 − x).

Краткие ответы

1. а) \(D(y)=(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty)\);
   б) \(D(f)=(-\infty;3]\).

2. а) \(E(f)=[-1;1]\);
   б) \(E(\varphi)=[-1;1]\).

3. Для \(y=2\cos 0{,}5x\):
   \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-2;2]\), функция чётная, период \(T=4\pi\).

4. \(f(x)=4x-\operatorname{tg}x\) — нечётная функция.

Почему так

1. Область определения

а) В дроби \(y=\dfrac{3}{x+7}\) знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x+7\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-7. \] Поэтому \[ D(y)=(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty). \]

б) Под корнем \(f(x)=\sqrt{3-x}\) выражение должно быть неотрицательным: \[ 3-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le3. \] Значит, \[ D(f)=(-\infty;3]. \]

2. Область значений

Для любого \(x\) \[ -1\le \sin x\le1. \] Поэтому \[ E(f)=[-1;1]. \]

Косинус тоже принимает значения от \(-1\) до \(1\). Аргумент \(2x\) пробегает все действительные числа, поэтому \[ E(\varphi)=[-1;1]. \]

3. График \(y=2\cos 0{,}5x\)

Это косинусоида, растянутая:

• по вертикали в \(2\) раза;
• по горизонтали в \(2\) раза.

Свойства: \[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[-2;2]. \]

Функция чётная: \[ y(-x)=2\cos(-0{,}5x)=2\cos 0{,}5x=y(x). \]

Период: \[ T=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi. \]

Нули: \[ 0{,}5x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Максимумы: \[ y_{\max}=2 \quad\text{при}\quad x=4\pi k. \]

Минимумы: \[ y_{\min}=-2 \quad\text{при}\quad x=2\pi+4\pi k. \]

Для построения схемы на одном периоде \([0;4\pi]\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi\\ \hline y & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{array} \]

Соединяем эти точки плавной косинусоидой и повторяем график влево и вправо через \(4\pi\).

4. Доказательство нечётности

\[ f(x)=4x-\operatorname{tg}x. \]

Область определения: \[ x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, \] она симметрична относительно нуля.

Проверяем: \[ f(-x)=4(-x)-\operatorname{tg}(-x) =-4x+\operatorname{tg}x =-(4x-\operatorname{tg}x) =-f(x). \]

Значит, функция нечётная.

Что запомнить:

• дробь существует при ненулевом знаменателе;
• корень существует при неотрицательном подкоренном выражении;
• у \(\sin x\) и \(\cos x\) область значений \([-1;1]\);
• для \(y=A\cos kx\) период равен \(\dfrac{2\pi}{|k|}\), а амплитуда равна \(|A|\).