3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 52. Найди объём конуса.

Ответ: 13.

Пусть радиус шара равен \(R\). Тогда радиус основания конуса тоже \(R\).

Так как основание конуса — окружность радиуса \(R\), лежащая на сфере радиуса \(R\), это большой круг. Значит, плоскость основания проходит через центр шара. Вершина прямого конуса находится на сфере, поэтому его высота равна радиусу шара:

\[ h=R. \]

Объём шара:

\[ V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=52. \]

Объём конуса:

\[ V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^2h =\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R =\frac{1}{3}\pi R^3. \]

Сравниваем объёмы:

\[ V_{\text{конуса}}=\frac{1}{4}V_{\text{шара}} =\frac{52}{4}=13. \]

Проверка: \(4\cdot 13=52\), значит, объём конуса найден верно.