Функцияның негізгі қасиеттері. 1. Функцияның анықталу облысын тапқыла: а) y = 3/(x+7); б) f(x) = √(3-x).

Кратко

1. а) \(D(y)=(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty)\); б) \(D(f)=(-\infty;3]\).
2. а) \(E(f)=[-1;1]\); б) \(E(\varphi)=[-1;1]\).
3. Для \(y=2\cos0{,}5x\): \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-2;2]\), \(T=4\pi\), функция чётная; нули \(x=\pi+2\pi k\); максимум \(2\) при \(x=4\pi k\), минимум \(-2\) при \(x=2\pi+4\pi k\).
4. \(f(x)=4x-\mathrm{tg}\,x\) — нечётная функция.

Подробный разбор

1. Область определения

а) В дроби знаменатель не должен равняться нулю:

\[ x+7\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-7. \]

Значит,

\[ D(y)=(-\infty;-7)\cup(-7;+\infty). \]

б) Под квадратным корнем выражение должно быть неотрицательным:

\[ 3-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le3. \]

Поэтому

\[ D(f)=(-\infty;3]. \]

2. Область значений

а) Синус принимает значения от \(-1\) до \(1\):

\[ E(f)=[-1;1]. \]

б) При \(x\in\mathbb R\) выражение \(2x\) тоже пробегает все действительные числа, поэтому косинус принимает все значения от \(-1\) до \(1\):

\[ E(\varphi)=[-1;1]. \]

3. График и свойства \(y=2\cos0{,}5x\)

Перепишем функцию:

\[ y=2\cos\frac{x}{2}. \]

Это косинусоида, растянутая по вертикали в \(2\) раза, а по горизонтали — в \(2\) раза. Её период:

\[ T=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi. \]

Опорные точки одного периода:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi\\ \hline y & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{array} \]

То есть от \(0\) до \(2\pi\) график идёт вниз от \(2\) до \(-2\), а затем от \(2\pi\) до \(4\pi\) поднимается обратно до \(2\). Дальше рисунок повторяется через \(4\pi\).

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=[-2;2]\);
• функция чётная:

\[ y(-x)=2\cos\frac{-x}{2}=2\cos\frac{x}{2}=y(x); \]

• период \(T=4\pi\);
• нули:

\[ 2\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\pi+2\pi k; \]

• максимум \(y=2\) при \(x=4\pi k\);
• минимум \(y=-2\) при \(x=2\pi+4\pi k\);
• возрастает на

\[ (2\pi+4\pi k;\;4\pi+4\pi k); \]

• убывает на

\[ (4\pi k;\;2\pi+4\pi k); \]

• положительна на

\[ (-\pi+4\pi k;\;\pi+4\pi k); \]

• отрицательна на

\[ (\pi+4\pi k;\;3\pi+4\pi k). \]

Во всех формулах \(k\in\mathbb Z\).

4. Нечётность функции

Правый край условия на фото обрезан, но видимая часть — «тақ функция екендігін дәлелде…», то есть нужно доказать нечётность.

Дана функция

\[ f(x)=4x-\mathrm{tg}\,x. \]

Её область определения: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), она симметрична относительно нуля. Проверяем определение нечётной функции:

\[ f(-x)=4(-x)-\mathrm{tg}(-x)=-4x+\mathrm{tg}\,x. \]

Вынесем минус:

\[ f(-x)=-(4x-\mathrm{tg}\,x)=-f(x). \]

Значит, функция нечётная.

Проверка

• В п. 1: \(x=-7\) действительно нельзя подставить в дробь, а \(x=3\) подходит под корень.
• В п. 3: при \(x=0\) получаем \(y=2\), при \(x=2\pi\) получаем \(y=-2\) — это совпадает с таблицей.
• В п. 4: равенство \(f(-x)=-f(x)\) выполнено, поэтому вывод верный.