12. Найди точку максимума функции y = −x√x + 21x − 29.

Кратко: \(x_{\max}=196\). Значение функции в этой точке: \(y(196)=1343\).

Как решать похожие задания:

1. Корень требует \(x\ge 0\).
2. Запиши \(x\sqrt{x}=x^{3/2}\), тогда \[ y=-x^{3/2}+21x-29. \]
3. Найди производную: \[ y'=-\frac{3}{2}\sqrt{x}+21. \]
4. Приравняй производную к нулю: \[ -\frac{3}{2}\sqrt{x}+21=0 \] \[ \sqrt{x}=14,\qquad x=196. \]
5. Проверь смену знака: при \(0<x<196\) производная положительна, при \(x>196\) — отрицательна. Значит, в точке \(x=196\) функция переходит от возрастания к убыванию — это точка максимума.

Ответ: \(196\). Если нужны координаты точки графика, то \((196;1343)\).