Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Корни уравнения:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Кратко объясню принцип. Уравнение имеет вид
\[
x^2-5x+6=0.
\]
Нужно найти два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\), поэтому
\[
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
\]
Получаем:
\[
(x-2)(x-3)=0.
\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[
x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0,
\]
откуда
\[
x=2 \quad\text{или}\quad x=3.
\]
Проверка:
при \(x=2\): \(4-10+6=0\);
при \(x=3\): \(9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: \(x\) никуда не исчезает, потому что мы раскладываем на множители выражение, в котором \(x\) уже есть. Числа \(2\) и \(3\) — это не сами множители, а числа, которые вычитаются из \(x\).
Общая формула
Если раскрыть скобки, получится: \[ (x-a)(x-b)=x^2-ax-bx+ab=x^2-(a+b)x+ab. \]
Сравним с нашим уравнением: \[ x^2-5x+6. \] Видно, что:
- \(a+b=5\) — сумма чисел равна \(5\);
- \(ab=6\) — произведение чисел равно \(6\).
Подходят \(a=2\) и \(b=3\). Значит, \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Проверка раскрытием скобок
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \] Получилось ровно наше выражение — значит, разложение верное.
Почему нельзя написать просто \(2\) и \(3\)
Если записать \(2\cdot 3=6\), то это просто верное равенство без неизвестного — уравнение решить не получится. А нам нужно уравнение с \(x\), которое равно нулю: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \] то есть \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
То есть числа \(2\) и \(3\) сначала помогают разложить выражение на скобки с \(x\), а уже из этих скобок получаются ответы.
