Дай правильные ответы
Сверь числа и знаки с фото.
Начальный уровень 1 Найдите квадратные корни из чисел, разложив их на простые множители. a) \(\sqrt{64}\) b) \(\sqrt{225}\) c) \(\sqrt{324}\) d) \(\sqrt{576}\) e) \(\sqrt{625}\) f) \(\sqrt{1600}\) 2 Найдите кубические корни из чисел, разложив их на простые множители. a) \(\sqrt[3]{27}\) b) \(\sqrt[3]{64}\) c) \(\sqrt[3]{125}\) d) \(\sqrt[3]{1000}\) e) \(\sqrt[3]{2744}\) f) \(\sqrt[3]{4096}\)
Средний уровень 3 a) Разложите \(162 \times 288\) на простые множители. Запишите ответ в виде произведения степеней. b) Используя ответ из пункта a), объясните, почему \(162 \times 288\) будет полным квадратом и полным кубом. 4 Найдите квадратный корень из НОК чисел 240 и 450. 5 Объём куба составляет 1728 см³. a) Найдите длину ребра куба. b) Найдите площадь грани куба.
6 a) Разложите число 1250 на простые множители. b) Значение выражения \(\frac{1250}{a}\) является полным квадратом. Найдите наименьшее натуральное значение \(a\). 7 Значение выражения \(360m\) является полным кубом. Найдите наименьшее натуральное значение \(m\). 8 a) Разложите число 3024 на простые множители. Запишите ответ в виде степени. b) Разложите значения корней на простые множители. Запишите ответ в виде степени.
- \(\sqrt{21 \times 3024}\)
- \(\sqrt{\frac{7 \times 3024}{3}}\)
- \(\sqrt[3]{\frac{4 \times 3024}{7}}\)
Высокий уровень 9 Найдите полный куб, являющийся наибольшим делителем числа 12 960. 10 a) Разложите число 1936 на простые множители. b) Используя ответ из пункта a), объясните следующее.
- Почему число 1936 будет полным квадратом?
- Почему число 1936 не будет полным кубом? c) Найдите значения m и n, если m и n — простые числа, а выражение \(1936 \times \frac{n}{m}\) — полный куб.
11 Из проволоки сконструировали квадрат площадью 11 664 см². a) Найдите длину проволоки. b) Объясните, почему значение реальной длины проволоки немного отличается от значения длины, полученного в пункте a). Для пояснения можете воспользоваться чертежом. 12 Числа разложены на простые множители следующим образом: \(x = 2^3 \times 3\), \(y = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7\) и \(z = 2 \times 3^3 \times 7\). a) Является ли значение x полным кубом? Почему? b) Является ли значение выражения \(y \times z\) полным квадратом? Почему? c) На какое наибольшее натуральное число делятся x, y и z? Запишите ответ в виде произведения степеней. d) Какое наименьшее натуральное число делится на x, y и z? Запишите ответ в виде произведения степеней.
Я проверил все пять страниц. Общий принцип: раскладываем число на простые множители; для квадратного корня показатели степеней делятся на 2, для кубического — на 3. Число является полным квадратом, если все показатели чётные, и полным кубом, если все показатели кратны 3.
Фото 1 (с. 20)
1. Квадратные корни. a) \(64=2^6\), поэтому \(\sqrt{64}=2^3=8\). b) \(225=3^2\cdot5^2\), поэтому \(\sqrt{225}=3\cdot5=15\). c) \(324=2^2\cdot3^4\), поэтому \(\sqrt{324}=2\cdot3^2=18\). d) \(576=2^6\cdot3^2\), поэтому \(\sqrt{576}=2^3\cdot3=24\). e) \(625=5^4\), поэтому \(\sqrt{625}=5^2=25\). f) \(1600=2^6\cdot5^2\), поэтому \(\sqrt{1600}=2^3\cdot5=40\).
2. Кубические корни. a) \(27=3^3\), ответ 3. b) \(64=2^6=(2^2)^3\), ответ 4. c) \(125=5^3\), ответ 5. d) \(1000=2^3\cdot5^3\), ответ 10. e) \(2744=2^3\cdot7^3\), ответ 14. f) \(4096=2^{12}=(2^4)^3\), ответ 16.
Фото 2 (с. 21)
3. a) \(162=2\cdot3^4\), \(288=2^5\cdot3^2\), поэтому \[ 162\cdot288=2^6\cdot3^6. \] b) \(2^6\cdot3^6=(2^3\cdot3^3)^2=(2^2\cdot3^2)^3\), значит, это одновременно полный квадрат и полный куб. Это число \(6^6\).
4. \(240=2^4\cdot3\cdot5\), \(450=2\cdot3^2\cdot5^2\). НОК равен \[ 2^4\cdot3^2\cdot5^2=3600, \] поэтому \(\sqrt{3600}=60\).
5. a) \(a^3=1728\), значит, ребро \(a=\sqrt[3]{1728}=12\) см. b) Площадь одной грани: \(a^2=12^2=144\) см².
Фото 3 (с. 22)
6. a) \(1250=2\cdot5^4\). b) Чтобы \(1250/a\) было полным квадратом, нужно убрать нечётную степень двойки: \(a=2\). Тогда \[ \frac{1250}{2}=625=25^2. \] Меньшее \(a=1\) не подходит. Ответ: 2.
7. \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\). Чтобы все показатели стали кратны 3, не хватает множителей \(3\) и \(5^2\): \[ m=3\cdot25=75. \] Проверка: \(360\cdot75=27000=30^3\).
8. a) \(3024=2^4\cdot3^3\cdot7\). b)
- \(21\cdot3024=(3\cdot7)(2^4\cdot3^3\cdot7)=2^4\cdot3^4\cdot7^2\), поэтому \[ \sqrt{21\cdot3024}=2^2\cdot3^2\cdot7=252. \]
- \(\frac{7\cdot3024}{3}=2^4\cdot3^2\cdot7^2=7056=84^2\), поэтому \[ \sqrt{\frac{7\cdot3024}{3}}=84. \]
- \(\frac{4\cdot3024}{7}=2^6\cdot3^3\), поэтому \[ \sqrt[3]{\frac{4\cdot3024}{7}}=2^2\cdot3=12. \]
Фото 4 (с. 23)
9. \(12960=2^5\cdot3^4\cdot5\). Наибольший делитель, являющийся полным кубом, получается, если взять максимальные показатели, кратные 3: \[ 2^3\cdot3^3=8\cdot27=216. \] Ответ: 216.
10. a) \(1936=2^4\cdot11^2\). b) 1) Все показатели чётные, поэтому \[ 1936=(2^2\cdot11)^2=44^2, \] то есть число является полным квадратом. 2) Для полного куба все показатели должны делиться на 3, а показатели 4 и 2 не делятся на 3. Поэтому \(1936\) не полный куб. c) Нужно сделать показатели кратными 3. Если \(m=2\), \(n=11\), то \[ 1936\cdot\frac{11}{2}=2^3\cdot11^3=22^3. \] Ответ: \(m=2\), \(n=11\).
Фото 5 (с. 24)
11. a) Сторона квадрата: \[ \sqrt{11664}=108\text{ см}. \] Длина проволоки — это периметр: \[ 4\cdot108=432\text{ см}. \] b) В расчёте проволока считается идеально тонкой линией. У реальной проволоки есть толщина: на углах она изгибается по дуге, поэтому длина по внешнему и внутреннему контуру получается разной. Кроме того, влияют соединение концов и погрешность измерения. Поэтому реальная длина немного отличается от \(4a\).
12. a) \(x=2^3\cdot3=24\). Нет, \(x\) не полный куб: показатель простого множителя 3 равен 1, а для полного куба все показатели должны делиться на 3. b) Да, \(y\cdot z\) — полный квадрат: \[ y\cdot z=(2^3\cdot3\cdot5^2\cdot7)(2\cdot3^3\cdot7)=2^4\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^2. \] Все показатели чётные. При этом \[ \sqrt{yz}=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7=1260. \] c) НОД — это произведение наименьших показателей: \[ 2^1\cdot3^1=6. \] d) НОК — это произведение наибольших показателей: \[ 2^3\cdot3^3\cdot5^2\cdot7=37800. \]
Обсуждение
2 сообщенияВот ответы с ключевыми шагами — по ним видно, как получается каждый результат.
Страница 20. Начальный уровень
1. Квадратные корни
- a) \(\sqrt{64}=8\), так как \(64=2^6\)
- b) \(\sqrt{225}=15\), так как \(225=3^2\cdot5^2\)
- c) \(\sqrt{324}=18\), так как \(324=2^2\cdot3^4\)
- d) \(\sqrt{576}=24\), так как \(576=2^6\cdot3^2\)
- e) \(\sqrt{625}=25\), так как \(625=5^4\)
- f) \(\sqrt{1600}=40\), так как \(1600=2^6\cdot5^2\)
2. Кубические корни
- a) \(\sqrt[3]{27}=3\)
- b) \(\sqrt[3]{64}=4\)
- c) \(\sqrt[3]{125}=5\)
- d) \(\sqrt[3]{1000}=10\)
- e) \(\sqrt[3]{2744}=14\), так как \(2744=2^3\cdot7^3\)
- f) \(\sqrt[3]{4096}=16\), так как \(4096=2^{12}\)
Страница 21. Средний уровень
3. a) \(162=2\cdot3^4\), \(288=2^5\cdot3^2\), поэтому \[ 162\cdot288=2^6\cdot3^6. \] b) \(2^6\cdot3^6=(2^3\cdot3^3)^2=(2^2\cdot3^2)^3\), значит, это число одновременно полный квадрат и полный куб.
4. \(240=2^4\cdot3\cdot5\), \(450=2\cdot3^2\cdot5^2\). \[ \text{НОК}=2^4\cdot3^2\cdot5^2=3600,\qquad \sqrt{3600}=60. \]
5. a) Ребро куба: \(\sqrt[3]{1728}=12\) см. b) Площадь грани: \(12^2=144\) см².
Страница 22
6. a) \(1250=2\cdot5^4\). b) Чтобы \(1250/a\) стало полным квадратом, не хватает множителя \(2\), поэтому \(a=2\). Проверка: \(1250:2=625=25^2\).
7. \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\). Для полного куба все показатели должны делиться на 3, поэтому \[ m=3\cdot5^2=75. \] Проверка: \(360\cdot75=27000=30^3\).
8. a) \(3024=2^4\cdot3^3\cdot7\). b)
- \(\sqrt{21\cdot3024}=\sqrt{2^4\cdot3^4\cdot7^2}=2^2\cdot3^2\cdot7=252\).
- \(\sqrt[3]{\dfrac{7\cdot3024}{3}}=\sqrt[3]{2^4\cdot3^2\cdot7^2}=2\sqrt[3]{882}\) — нацело не извлекается.
- \(\sqrt[3]{\dfrac{4\cdot3024}{7}}=\sqrt[3]{2^6\cdot3^3}=2^2\cdot3=12\).
Страница 23. Высокий уровень
9. \(12960=2^5\cdot3^4\cdot5\). Наибольший полный куб-делитель: \[ 2^3\cdot3^3=216. \]
10. a) \(1936=2^4\cdot11^2\). b)
- Показатели степеней \(4\) и \(2\) чётные, поэтому \(1936=(2^2\cdot11)^2=44^2\) — полный квадрат.
- Показатели \(4\) и \(2\) не кратны \(3\), поэтому \(1936\) не является полным кубом. c) Нужно \(m=2\), \(n=11\): \[ 1936\cdot\frac{11}{2}=10648=22^3. \]
Страница 24
11. a) Сторона квадрата: \(\sqrt{11664}=108\) см. Длина проволоки — это периметр: \[ 4\cdot108=432\text{ см}. \] b) На углах проволока изгибается по дуге, а не образует идеально острый угол; кроме того, у проволоки есть толщина и погрешность измерения. Поэтому реальная длина немного отличается от расчётной.
12. Даны \(x=2^3\cdot3\), \(y=2^3\cdot3\cdot5^2\cdot7\), \(z=2\cdot3^3\cdot7\). a) \(x\) не является полным кубом: у множителя \(3\) показатель \(1\), а должен быть кратен \(3\). b) \(y\cdot z=2^4\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^2\). Все показатели чётные, значит, это полный квадрат. c) Наибольший общий делитель: \[ 2\cdot3=6. \] d) Наименьшее общее кратное: \[ 2^3\cdot3^3\cdot5^2\cdot7=37800. \]
