11. На рисунке изображён график функции вида f(x) = logₐx. Найди значение f(1/256).

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: декартова система координат с сеткой; оси подписаны $x$ и $y$, на оси $x$ отмечены $0$, $1$, $2$, на оси $y$ отмечена $1$; график убывающей логарифмической функции проходит через точки $(1;0)$ и $(2;-0{,}5)$.]

11. На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_a x$. Найди значение $f\left(\frac{1}{256}\right)$.

Answer

Краткий ответ: $f\left(\frac{1}{256}\right)=4$.

1. График убывает, значит $0<a<1$.

2. По сетке видно, что отмеченная точка графика — $\left(2;-\frac12\right)$. Значит,
$$
\log_a 2=-\frac12.
$$

3. По определению логарифма:
$$
a^{-1/2}=2 \quad\Rightarrow\quad a=\frac14.
$$

4. Так как
$$
\frac{1}{256}=\left(\frac14\right)^4,
$$
то
$$
f\left(\frac{1}{256}\right)=\log_{1/4}\left(\frac{1}{256}\right)=4.
$$

Проверка: $\left(\frac14\right)^4=\frac{1}{256}$, поэтому ответ верный.