Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Я готов решить, но не вижу самого задания: в чате нет ни фото, ни текста номера 8 — отсюда и мой вопрос.

Пришли, пожалуйста, условие: фотографию страницы или текст номера 8 и название предмета (например, «алгебра, 8 класс»). Тогда я разберу решение по шагам.

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм,
\(AE\) — биссектриса угла \(A\), \(E \in BC\),
угол между \(AE\) и стороной \(BC\) равен \(15^\circ\).

Найти:
острый угол параллелограмма \(ABCD\).

Решение:

1. Так как \(AD \parallel BC\), а \(AE\) — секущая, то
   \[ \angle EAD=\angle AEB=15^\circ \] как накрест лежащие углы.

2. \(AE\) — биссектриса угла \(A\), поэтому
   \[ \angle BAE=\angle EAD=15^\circ. \] Значит, \[ \angle A=\angle BAE+\angle EAD=15^\circ+15^\circ=30^\circ. \]

3. В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-30^\circ=150^\circ. \] Следовательно, острый угол параллелограмма равен \(30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).

При обозначении из решения, где \(E\) — точка пересечения биссектрисы со стороной \(BC\):

Равны \(15^\circ\):

• \(\angle AEB\) — угол между биссектрисой \(AE\) и стороной \(BC\);
• \(\angle EAD\) — накрест лежащий с ним;
• \(\angle BAE\) — вторая половина угла \(A\).

То есть: \[ \angle AEB=\angle EAD=\angle BAE=15^\circ. \]

Равны \(30^\circ\):

• \(\angle BAD\) — то есть весь угол \(A\);
• \(\angle BCD\) — противоположный ему угол \(C\).

То есть: \[ \angle BAD=\angle BCD=30^\circ. \]

Если нужен только острый угол параллелограмма, то это \(\angle BAD\) (угол \(A\)), он равен \(30^\circ\).

По нашему решению искать нужно острый угол параллелограмма, то есть:

\[ \angle BAD \quad (\text{угол } A) \]

Он равен \(30^\circ\).

Если в задаче сказано «найдите углы параллелограмма», то выписываем все четыре:

\[ \angle A=30^\circ,\quad \angle B=150^\circ,\quad \angle C=30^\circ,\quad \angle D=150^\circ \]

То есть главный искомый угол — \(\angle BAD=30^\circ\); \(\angle BCD\) равен ему как противоположный.

Пришли, пожалуйста, условие номера 24: фото страницы или текст задания. Без него я не смогу решить — вижу только номер.

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=84^\circ\).

Найти: \(\angle ACD\).

Ответ: \(48^\circ\).

Решение:

1. В ромбе соседние углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \[ \angle BCD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]

2. Диагональ ромба делит его угол пополам, значит \(AC\) — биссектриса угла \(BCD\): \[ \angle ACD=\frac{\angle BCD}{2}=\frac{96^\circ}{2}=48^\circ. \]

Проверка другим способом. В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=BC\), поэтому он равнобедренный: \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ. \] Тогда \[ \angle ACD=\angle BCD-\angle BCA=96^\circ-48^\circ=48^\circ. \] Оба способа дают одно и то же.

Ответ: 48.

Номер 42

Ответ: \(71^\circ\).

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма двух соседних углов при боковой стороне равна \(180^\circ\), поэтому \(218^\circ\) — это сумма двух равных углов при одном основании.
2. Значит, каждый из них равен \[ 218^\circ:2=109^\circ. \]
3. Меньший угол — соседний с ним: \[ 180^\circ-109^\circ=71^\circ. \]

Проверка: \(71^\circ+109^\circ=180^\circ\), а \(109^\circ+109^\circ=218^\circ\). Всё сходится.

Ответ: 71.