19.4. 1) cos x = -0,7; 2) sin x = -√5/4; 3) cos x = 0,3; 4) ctg x = -5; 5) tg x = 0; 6) sin x = -1. 19.5. 1) sin 2x = √3/2; 2) cos 3x = √2/2; 3) sin 2x = -1/2.

Краткий ответ

Везде \(k,n\in\mathbb{Z}\).

19.4

1. \(\cos x=-0{,}7\): \[x=\pm\arccos(-0{,}7)+2\pi k=\pm(\pi-\arccos 0{,}7)+2\pi k\]
2. \(\sin x=-\frac{\sqrt5}{4}\): \[x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt5}{4}+\pi n\]
3. \(\cos x=0{,}3\): \[x=\pm\arccos 0{,}3+2\pi k\]
4. \(\operatorname{ctg} x=-5\): \[x=\pi-\operatorname{arcctg}5+\pi k\]
5. \(\operatorname{tg} x=0\): \[x=\pi k\]
6. \(\sin x=-1\): \[x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\]

19.5

1. \(\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\): \[x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\]
2. \(\cos 3x=\frac{\sqrt2}{2}\): \[x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}\]
3. \(\sin 2x=-\frac12\): \[x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\]

Принцип: три «базовые» формулы

\[\cos x=a\ (|a|\le 1):\quad x=\pm\arccos a+2\pi k\]

\[\sin x=a\ (|a|\le 1):\quad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n\]

\[\operatorname{tg} x=a:\quad x=\operatorname{arctg} a+\pi k,\qquad \operatorname{ctg} x=a:\quad x=\operatorname{arcctg} a+\pi k\]

Почему так. На единичной окружности у уравнения \(\cos x=a\) две симметричные точки, они и дают знак \(\pm\). У уравнения \(\sin x=a\) тоже две точки, но их удобно записать одной строкой через \((-1)^n\): при чётном \(n\) берётся одна точка, при нечётном — вторая. У тангенса и котангенса точки повторяются через полуоборот, поэтому период \(\pi\), а не \(2\pi\).

Правила знаков (они и «съедают» минусы в 19.4):

\[\arccos(-a)=\pi-\arccos a,\quad \arcsin(-a)=-\arcsin a\]

\[\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg} a,\quad \operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg} a\]

Например, в 19.4.2: \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt5}{4}\right)=-\arcsin\frac{\sqrt5}{4}\), поэтому появляется \((-1)^{n+1}\). В 19.4.4: \(\operatorname{arcctg}(-5)=\pi-\operatorname{arcctg}5\). Перед решением проверяем \(|a|\le 1\): здесь \(0{,}7;\ \frac{\sqrt5}{4}\approx0{,}56;\ 0{,}3\) — подходят.

Составной аргумент (19.5)

Сначала решаем уравнение относительно \(2x\) или \(3x\) как обычное, а потом делим на 2 или на 3 всё, включая период — это главная ловушка.

\[\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\ \Rightarrow\ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n\ \Rightarrow\ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\]

Обрати внимание: период был \(\pi n\), после деления на 2 стал \(\frac{\pi n}{2}\). В 19.5.2 период \(2\pi n\) после деления на 3 даёт \(\frac{2\pi n}{3}\), а не \(2\pi n\).

Проверка

19.5.1, \(n=0\): \(x=\frac{\pi}{6}\), тогда \(\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) — верно. \(n=1\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}\), \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) — верно.

19.5.3, \(n=0\): \(x=-\frac{\pi}{12}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12\) — верно.

19.4.5: \(\operatorname{tg} x=0\) даёт \(x=\pi k\), а не \(2\pi k\): точки повторяются через \(\pi\). 19.4.6: \(\sin x=-1\) — это нижняя точка окружности, поэтому только \(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\). Численно: \(\arccos(-0{,}7)\approx2{,}35\) рад \(\approx134^\circ\), \(\pi-\operatorname{arcctg}5\approx168{,}7^\circ\).