1. √(x+1)=3 2. √(x-2)=5 3. √(4+x)=√(2x-1) 4. ∜(2x+3)=1
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \(\sqrt{x+1}=3\)
- \(\sqrt{x-2}=5\)
- \(\sqrt{4+x}=\sqrt{2x-1}\)
- \(\sqrt[4]{2x+3}=1\)
- \(\sqrt[3]{1-x}=2\)
- \(\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}\)
- \(x+1=\sqrt{1-x}\)
- \(x=1+\sqrt{x+11}\)
- \(\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}\)
- \(\sqrt{x^2-x-3}=3\)
- \(\sqrt{15-2x}=3\)
- \(\sqrt{5x-8}=5\)
- \(\sqrt{13+2x}=5\)
- \(\sqrt{10-x}-3=0\)
- \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{5}\)
- \(\sqrt{5-x}<4\)
- \(\sqrt{x^2-5x}<2\)
- \(\sqrt{x-2}>3\)
- \(\sqrt{3-x}\le5\)
- \(\begin{cases}3-x\le2\\2x+1\le4\end{cases}\)
- \(\begin{cases}x^2-1\ge0\\x>0\end{cases}\) [обрезано]
Кратко (1–20): \[ 1)\ 8;\quad 2)\ 27;\quad 3)\ 5;\quad 4)\ -1;\quad 5)\ -7;\quad 6)\ 3,\ -\frac13;\quad 7)\ 0;\quad 8)\ 5; \] \[ 9)\ 1;\quad 10)\ 4,\ -3;\quad 11)\ 3;\quad 12)\ \frac{33}{5};\quad 13)\ 6;\quad 14)\ 1;\quad 15)\ 25; \] \[ 16)\ (-11;5];\quad 17)\ \left(\frac{5-\sqrt{41}}2;0\right]\cup\left[5;\frac{5+\sqrt{41}}2\right); \] \[ 18)\ (11;+\infty);\quad 19)\ [-22;3];\quad 20)\ \left[1;\frac32\right]. \]
Общее правило. Если корень чётной степени, то после возведения в квадрат обязательно проверяем корни: левая часть уравнения не должна быть отрицательной, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Корень нечётной степени можно возводить в нечётную степень без таких ограничений.
\(\sqrt{x+1}=3\Rightarrow x+1=9\Rightarrow x=8\).
\(\sqrt{x-2}=5\Rightarrow x-2=25\Rightarrow x=27\).
\(\sqrt{4+x}=\sqrt{2x-1}\Rightarrow 4+x=2x-1\Rightarrow x=5\).
\(\sqrt[4]{2x+3}=1\Rightarrow 2x+3=1\Rightarrow x=-1\). Подкоренное выражение равно \(1\), всё верно.
\(\sqrt[3]{1-x}=2\Rightarrow 1-x=8\Rightarrow x=-7\).
\(\sqrt[3]{3x^2-3}=\sqrt[3]{8x}\Rightarrow 3x^2-3=8x\Rightarrow 3x^2-8x-3=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=-\frac13\).
\(x+1=\sqrt{1-x}\). Нужно \(x+1\ge0\). После квадрата: \[ (x+1)^2=1-x\Rightarrow x^2+3x=0\Rightarrow x=0 \text{ или } x=-3. \] При \(x=-3\) слева \(-2\), а корень неотрицателен, поэтому не подходит. Ответ: \(0\).
\(x=1+\sqrt{x+11}\Rightarrow x-1=\sqrt{x+11}\), значит \(x\ge1\). После квадрата: \[ (x-1)^2=x+11\Rightarrow x^2-3x-10=0. \] Корни \(5\) и \(-2\). Подходит только \(x=5\).
\(\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}\Rightarrow x+3=5-x\Rightarrow x=1\).
\(\sqrt{x^2-x-3}=3\Rightarrow x^2-x-3=9\Rightarrow x^2-x-12=0\). Корни \(4\) и \(-3\); оба подходят.
\(\sqrt{15-2x}=3\Rightarrow 15-2x=9\Rightarrow x=3\).
\(\sqrt{5x-8}=5\Rightarrow 5x-8=25\Rightarrow x=\frac{33}{5}\).
\(\sqrt{13+2x}=5\Rightarrow 13+2x=25\Rightarrow x=6\).
\(\sqrt{10-x}-3=0\Rightarrow \sqrt{10-x}=3\Rightarrow 10-x=9\Rightarrow x=1\).
\(\dfrac1{\sqrt{x}}=\dfrac15\Rightarrow \sqrt{x}=5\Rightarrow x=25\).
\(\sqrt{5-x}<4\). ОДЗ: \(x\le5\). После квадрата: \[ 5-x<16\Rightarrow x>-11. \] Пересечение: \((-11;5]\).
\(\sqrt{x^2-5x}<2\). ОДЗ: \(x^2-5x\ge0\), то есть \(x\le0\) или \(x\ge5\). После квадрата: \[ x^2-5x<4\Rightarrow x^2-5x-4<0. \] Корни: \(\frac{5\pm\sqrt{41}}2\). Решение квадратного неравенства — между ними. Пересекаем с ОДЗ: \[ \left(\frac{5-\sqrt{41}}2;0\right]\cup\left[5;\frac{5+\sqrt{41}}2\right). \]
\(\sqrt{x-2}>3\). ОДЗ: \(x\ge2\). После квадрата: \[ x-2>9\Rightarrow x>11. \] Ответ: \((11;+\infty)\).
\(\sqrt{3-x}\le5\). ОДЗ: \(x\le3\). После квадрата: \[ 3-x\le25\Rightarrow x\ge-22. \] Ответ: \([-22;3]\).
\[ \begin{cases} 3-x\le2\\ 2x+1\le4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge1\\ x\le\frac32 \end{cases} \] Ответ: \(\left[1;\frac32\right]\).
Нижняя строка на фото обрезана. Если там \(x>0\), то из \(x^2-1\ge0\) получаем \(x\le-1\) или \(x\ge1\), а с условием \(x>0\) остаётся \(x\in[1;+\infty)\). Если вторая строка \(x<0\), то ответ будет \(x\le-1\).
Проверка: в №7 и №8 лишние корни отброшены; в №16–19 концы интервалов расставлены с учётом ОДЗ — там, где возможно равенство, скобка квадратная.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи ещё пример с корнем и ОДЗ
Вот похожий пример — уравнение с квадратным корнем:
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Краткий ответ: \(x=3\).
Решение.
Корень определён при \[ 2x+3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -\frac32. \] Но левая часть \(\sqrt{2x+3}\ge0\), значит и правая часть должна быть неотрицательной: \[ x\ge0. \] Поэтому дальше учитываем условие \(x\ge0\).
Возводим обе части в квадрат: \[ 2x+3=x^2. \] Получаем: \[ x^2-2x-3=0, \] \[ (x-3)(x+1)=0. \] Корни: \[ x=3,\qquad x=-1. \]
Проверяем:
- при \(x=3\): \(\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt9=3\), верно;
- при \(x=-1\): \(\sqrt{2\cdot(-1)+3}=\sqrt1=1\), а справа \(-1\). Равенства нет, поэтому корень посторонний.
Ответ: \(x=3\).
Главная идея: ОДЗ корня — это ещё не всё. Если корень стоит в равенстве с выражением без корня, нужно отдельно следить, чтобы правая часть была неотрицательной, иначе после возведения в квадрат может появиться лишний корень.
