импульс. закон сохранения импульса
Кратко
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы на скорость:
\[ \vec{p}=m\vec{v}, \qquad [\,p\,]=\text{кг}\cdot\text{м/с} \]
Импульс силы равен изменению импульса тела (это и есть вторая форма второго закона Ньютона):
\[ \vec{F}\,\Delta t=\Delta \vec{p}=m\vec{v}_2-m\vec{v}_1 \]
Закон сохранения импульса: в замкнутой системе (или если внешние силы за малое время удара пренебрежимо малы) векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной:
\[ m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2 \]
Откуда он берётся
Два тела сталкиваются: первое действует на второе с силой \(\vec{F}_{12}\), второе на первое — с \(\vec{F}_{21}\). По третьему закону Ньютона \(\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}\), а действуют они одинаковое время \(\Delta t\). Значит, изменения импульсов равны по модулю и противоположны по направлению:
\[ \Delta \vec{p}_1=-\Delta \vec{p}_2 \;\Rightarrow\; \Delta(\vec{p}_1+\vec{p}_2)=0 \]
То есть суммарный импульс не меняется — тела «обмениваются» импульсом, но не создают его из ничего.
Как решать задачи (алгоритм)
- Выбрать тела системы и проверить, можно ли считать её замкнутой (за время взаимодействия внешними силами — трением, тяжестью — пренебрегаем).
- Записать импульсы до и после взаимодействия, каждую скорость со своим знаком.
- Перейти от векторов к проекциям на удобную ось (обычно вдоль движения).
- Решить уравнение; отдельно проверить: не нарушает ли ответ здравый смысл (направление, пределы значений).
Пример с проверкой
Тележка \(m_1=2\) кг едет со скоростью \(v_1=3\) м/с и догоняет тележку \(m_2=4\) кг со скоростью \(v_2=1\) м/с. После сцепки они движутся вместе.
Импульс до: \(p=2\cdot 3+4\cdot 1=10\) кг·м/с. Масса после сцепки: \(6\) кг.
\[ v=\frac{p}{m_1+m_2}=\frac{10}{6}\approx 1{,}67\ \text{м/с} \]
Проверка: направление совпало с исходным, а скорость \(1{,}67\) м/с лежит между \(1\) и \(3\) м/с — так и должно быть при неупругом ударе. Сходится.
Частые ошибки
- складывают модули импульсов, хотя скорости направлены в разные стороны (импульс — вектор!);
- применяют закон, когда внешняя сила за время взаимодействия не мала (например, торможение о землю);
- путают неупругий удар (тела движутся вместе, часть энергии переходит в тепло) с упругим (сохраняются и импульс, и энергия);
- забывают, что при упругом ударе одного закона сохранения импульса недостаточно — нужно ещё уравнение сохранения энергии.
