Выпуклый четырёхугольник. Укажите три неверных утверждения.

Краткий ответ

Неверные утверждения — 1, 3 и 4.

Почему так

Главный факт: сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\). Это видно, если провести диагональ — четырёхугольник распадается на два треугольника: \(180^\circ+180^\circ=360^\circ\).

Разберём каждое утверждение:

1. «Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого острые» — неверно. Если каждый угол меньше \(90^\circ\), то их сумма меньше \(360^\circ\), а должна быть ровно \(360^\circ\). Противоречие.

2. «Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\)» — верно, это теорема.

3. «В любом выпуклом четырёхугольнике все углы тупые» — неверно. Если каждый угол больше \(90^\circ\), сумма больше \(360^\circ\), что невозможно. Достаточно контрпримера: у квадрата все углы прямые, а не тупые.

4. «В любом выпуклом четырёхугольнике есть прямой угол» — неверно. Контрпример: параллелограмм с углами \(60^\circ\) и \(120^\circ\) — прямых углов у него нет.

5. «Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого — прямые» — верно: это прямоугольник (частный случай — квадрат), \(90^\circ\cdot4=360^\circ\).

Проверка

Неверных утверждений ровно три — 1, 3, 4, как и требует условие. Остальные два (2 и 5) истинны и подтверждаются примерами.

Полезный приём для похожих заданий: считайте сумму «в уме» — если все углы меньше \(90^\circ\), сумма не дотянет до \(360^\circ\); если все больше \(90^\circ\) — переберёт. А слова «в любом» удобно опровергать одним контрпримером.