номер 270

Ответ: \(16\ \text{см}^2\).

Обозначим нижнее основание \(ABC\), верхнее — \(A_1B_1C_1\), причём \[ AB=BC=CA=5,\qquad A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=3, \] а боковое ребро \(AA_1\perp (ABC)\) и \(AA_1=1\).

1. Все боковые грани — трапеции с основаниями \(5\) и \(3\).
   У граней \(ABB_1A_1\) и \(ACC_1A_1\) ребро \(AA_1\) перпендикулярно сторонам основания, поэтому оно является высотой этих трапеций: \[ S_{ABB_1A_1}=S_{ACC_1A_1} =\frac{5+3}{2}\cdot 1=4. \]

2. Верхнее основание — параллельное сечение, поэтому оно подобно нижнему с коэффициентом \[ \frac{3}{5}. \] Значит, проекции вершин \(B_1\) и \(C_1\) лежат на \(AB\) и \(AC\) на расстоянии \(3\) от \(A\). Поэтому горизонтальное смещение вершин \(B\) и \(C\) равно \[ 5-3=2, \] а вертикальное равно \(1\). Тогда боковые стороны третьей трапеции: \[ BB_1=CC_1=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5. \]

3. Трапеция \(BCC_1B_1\) равнобедренная, её основания \(5\) и \(3\). Её высота: \[ h=\sqrt{(\sqrt5)^2-\left(\frac{5-3}{2}\right)^2} =\sqrt{5-1}=2. \] Поэтому \[ S_{BCC_1B_1}=\frac{5+3}{2}\cdot 2=8. \]

Складываем площади трёх боковых граней: \[ S_{\text{бок}}=4+4+8=16\ \text{см}^2. \]