решить дано найти решение ответ
Сверь числа и знаки с фото.
269 Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды. 270 Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
На фото две задачи — № 269 и № 270. Я решил обе.
Краткий ответ
- № 269: высота \(H=\dfrac{2\sqrt6}{3}\) дм, апофема \(m=\sqrt3\) дм.
- № 270: \(S_{\text{бок}}=16\) см².
№ 269
Дано: правильная треугольная усечённая пирамида; стороны оснований \(4\) дм и \(2\) дм; боковое ребро \(l=2\) дм.
Найти: высоту \(H\) и апофему \(m\).
Решение.
Для правильного треугольника со стороной \(a\) радиус описанной окружности равен \[ R=\frac{a}{\sqrt3}. \] Поэтому разность радиусов оснований: \[ R_1-R_2=\frac{4}{\sqrt3}-\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}. \]
Боковое ребро, высота и эта разность образуют прямоугольный треугольник: \[ H^2+\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2=2^2. \] Отсюда \[ H^2=4-\frac43=\frac83, \qquad H=\frac{2\sqrt6}{3}\text{ дм}. \]
Апофема — это высота боковой грани, то есть трапеции с основаниями \(4\) и \(2\) и боковой стороной \(2\). Разность оснований даёт горизонтальный катет: \[ \frac{4-2}{2}=1. \] Тогда \[ m^2+1^2=2^2, \qquad m^2=3, \qquad m=\sqrt3\text{ дм}. \]
Ответ: \(H=\dfrac{2\sqrt6}{3}\) дм, \(m=\sqrt3\) дм.
№ 270
Дано: основания — правильные треугольники со сторонами \(5\) см и \(3\) см; одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно \(1\) см.
Найти: площадь боковой поверхности.
Решение.
Пусть нижнее основание — \(ABC\), верхнее — \(A_1B_1C_1\), причём \[ AA_1\perp (ABC),\qquad AA_1=1\text{ см}. \]
Так как основания подобны, коэффициент подобия: \[ k=\frac{3}{5}. \] Если продолжить боковые рёбра до вершины \(S\), то \[ \frac{SA_1}{SA}=\frac35,\qquad SA-SA_1=1. \] Отсюда \(SA=2{,}5\) см, \(SA_1=1{,}5\) см.
Проекция \(B_1\) на плоскость нижнего основания лежит на \(AB\) на расстоянии \(3\) см от \(A\). Поэтому \[ BB_1=\sqrt{(5-3)^2+1^2}=\sqrt5\text{ см}, \] аналогично \(CC_1=\sqrt5\) см.
Теперь считаем площади трёх боковых граней-трапеций.
Две грани, прилежащие к ребру \(AA_1\), имеют высоту \(1\) см: \[ S_1=S_2=\frac{5+3}{2}\cdot 1=4\text{ см}^2. \]
Третья грань \(BCC_1B_1\) — равнобедренная трапеция с основаниями \(5\) и \(3\), боковой стороной \(\sqrt5\). Её высота: \[ h=\sqrt{(\sqrt5)^2-\left(\frac{5-3}{2}\right)^2} =\sqrt{5-1}=2\text{ см}. \] Тогда \[ S_3=\frac{5+3}{2}\cdot 2=8\text{ см}^2. \]
Итого: \[ S_{\text{бок}}=4+4+8=16\text{ см}^2. \]
Ответ: \(16\) см².
Что важно понять: в правильной усечённой пирамиде высоту и апофему удобно искать через прямоугольные треугольники; в более общей задаче — через подобие полной пирамиды и площади боковых граней-трапеций.
