На рисунке PO = OK, OB = OC и AB = CD. Докажите, что AP = DK.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
На рисунке \(PO = OK\), \(OB = OC\) и \(AB = CD\). Докажите, что \(AP = DK\). [Рисунок: точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на одной прямой в указанном порядке; точки \(P\) и \(K\) расположены выше этой прямой; проведены отрезки \(PA\), \(PB\), \(PC\), \(KB\), \(KC\), \(KD\); отрезки \(PC\) и \(KB\) пересекаются в точке \(O\).] Составьте верную последовательность этапов доказательства из предложенных вариантов. Варианты: \(AP = KD\). Треугольники \(PBC\) и \(KBC\) равны по первому признаку. \(PB = KC\) и \(\angle OPB = \angle OKC\). Треугольники \(POB\) и \(KOC\) равны по первому признаку. Угол \(KBC\) равен углу \(PCB\). Треугольники \(APC\) и \(KBD\) равны по первому признаку.
Краткий ответ: нужен такой порядок карточек:
- Треугольники \(POB\) и \(KOC\) равны по первому признаку.
- \(PB = KC\) и \(\angle OPB = \angle OKC\).
- Треугольники \(PBC\) и \(KBC\) равны по первому признаку.
- Треугольники \(APC\) и \(KBD\) равны по первому признаку.
- \(AP = KD\).
Карточка «Угол \(KBC\) равен углу \(PCB\)» — лишняя: это следствие шага 3.
Почему так:
В треугольниках \(POB\) и \(KOC\): \[ PO=OK,\quad OB=OC, \] а углы \(POB\) и \(KOC\) вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними — по первому признаку.
Из этого равенства следует: \[ PB=KC,\qquad \angle OPB=\angle OKC. \]
Заметим, что \[ PC=PO+OC=KO+OB=KB. \] Кроме того, так как \(O\) лежит на \(PC\) и \(KB\), \[ \angle BPC=\angle BKC. \] Поэтому треугольники \(PBC\) и \(KBC\) равны по первому признаку: \(PB=KC\), \(PC=KB\), угол между этими сторонами равен.
Из равенства треугольников \(PBC\) и \(KBC\) получаем \[ \angle PCB=\angle KBC. \] Далее: \[ AC=AB+BC=BC+CD=BD, \] \[ PC=KB, \] а углы \(PCA\) и \(KBD\) равны, потому что \[ \angle PCA=\angle PCB,\qquad \angle KBD=\angle KBC. \] Значит, треугольники \(APC\) и \(KBD\) равны по первому признаку.
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому \[ AP=DK. \]
Обсуждение
2 сообщенияТам нужно 6
Да, я понял: если в задании нужно расположить 6 карточек, то карточка про углы не лишняя. Правильный порядок:
- \(\triangle POB=\triangle KOC\) по первому признаку.
- \(PB=KC\) и \(\angle OPB=\angle OKC\).
- \(\triangle PBC=\triangle KBC\) по первому признаку.
- \(\angle KBC=\angle PCB\).
- \(\triangle APC=\triangle KBD\) по первому признаку.
- \(AP=KD\).
Угол \(\angle KBC=\angle PCB\) следует из равенства треугольников \(PBC\) и \(KBC\) (шаг 3), а затем используется при доказательстве равенства \(\triangle APC=\triangle KBD\).
