2. ctg α − tg α = 2 ctg 2α

Кратко: в тетради это оформляют как доказательство тождества — в одну цепочку равенств, без переписывания условия посередине.

Так пишут в тетради

Доказать тождество: \[ \operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha=2\operatorname{ctg}2\alpha. \]

Доказательство: \[ \operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{\cos2\alpha}{\frac12\sin2\alpha} =2\operatorname{ctg}2\alpha. \]

ч. т. д.

Что важно в записи

• Знак \(\operatorname{ctg}\) и \(\operatorname{tg}\) пишут слитно, без точки: \(\operatorname{ctg}\alpha\), \(\operatorname{tg}2\alpha\). Аргумент ставят сразу после, без пробела.
• Двойной угол записывают так: \(\operatorname{ctg}2\alpha\) (а не \(\operatorname{ctg}2\cdot\alpha\) и не \(\operatorname{ctg}(2\alpha)\), если скобки не нужны).
• Степень пишут над функцией: \(\cos^2\alpha\), а не \(\cos\alpha^2\).
• Всё доказательство — одна строка равенств, где каждое следующее выражение получается из предыдущего. Сокращать «получили то же самое» не нужно: цепочка сама приводит к правой части.
• В конце ставят «ч. т. д.» — «что и требовалось доказать».

Если нужна словесная запись (например, для ответа у доски): «Применим формулы \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), приведём дроби к общему знаменателю и используем формулы двойного угла».

Уточни, если вопрос был про другое — например, как записывать \(\operatorname{ctg}\) в редакторе или как оформить именно ответ, а не доказательство.

Краткий ответ (задание 2 — «Туюнтманы жөнөкөйлөткүлө», то есть упростить выражение): \[ \frac{\sin 5\alpha-\sin\alpha}{\cos 5\alpha-\cos\alpha}=-\operatorname{ctg}3\alpha . \]

Решение по шагам

1. Числитель преобразуем по формуле разности синусов: \[ \sin 5\alpha-\sin\alpha=2\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}=2\sin2\alpha\cos3\alpha . \]

2. Знаменатель — по формуле разности косинусов (не забудь знак «минус»): \[ \cos5\alpha-\cos\alpha=-2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2}=-2\sin3\alpha\sin2\alpha . \]

3. Делим: \[ \frac{2\sin2\alpha\cos3\alpha}{-2\sin3\alpha\sin2\alpha} =-\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} =-\operatorname{ctg}3\alpha . \]

Область допустимых значений. Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: \[ \sin2\alpha\neq0,\qquad \sin3\alpha\neq0, \] то есть \[ \alpha\neq\frac{\pi k}{2},\qquad \alpha\neq\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z. \]

Проверка. Возьмём \(\alpha=15^\circ\): \[ \frac{\sin75^\circ-\sin15^\circ}{\cos75^\circ-\cos15^\circ} =\frac{0{,}7071}{-0{,}7071}=-1, \] а справа \(-\operatorname{ctg}45^\circ=-1\). Совпало.

Запомни принцип: в дробях вида \(\frac{\sin a\pm\sin b}{\cos a\pm\cos b}\) сначала раскладывают числитель и знаменатель по формулам суммы/разности, а потом одинаковый множитель (здесь \(\sin2\alpha\)) сокращается. Осторожно только со знаком в формуле \(\cos a-\cos b\): он отрицательный.

Для № 2 в тетради записывают так:

Тригонометриялық өрнекті ықшамдаңыз: \[ \frac{\sin 5\alpha-\sin\alpha}{\cos 5\alpha-\cos\alpha}. \]

Решение: \[ \frac{\sin5\alpha-\sin\alpha}{\cos5\alpha-\cos\alpha} = \frac{2\cos3\alpha\sin2\alpha}{-2\sin3\alpha\sin2\alpha} = -\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\operatorname{ctg}3\alpha. \]

Ответ: \(-\operatorname{ctg}3\alpha\).

Здесь использованы формулы разности синусов и косинусов: \[ \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}, \] \[ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}. \]

Если нужно указать область определения, то: \[ \sin2\alpha\ne0,\qquad \sin3\alpha\ne0, \] то есть \[ \alpha\ne\frac{\pi k}{2},\qquad \alpha\ne\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z. \]

В конце записи достаточно поставить: \[ \boxed{-\operatorname{ctg}3\alpha}. \]

Если вопрос был про оформление первого задания, скажи — покажу, как должна выглядеть запись доказательства именно в тетради.

Если речь о самой записи ответа, то пишется так:

\[ \boxed{-\operatorname{ctg}3\alpha} \]

Словами: «минус котангенс трёх альфа».

Как это выглядит от руки в строчке ответа:

Ответ: \(-\operatorname{ctg}3\alpha\).

• Пишут слитно: \(\operatorname{ctg}3\alpha\), без точки после «ctg» и без знака умножения.
• Минус ставят перед всей функцией: \(-\operatorname{ctg}3\alpha\), а не \(\operatorname{ctg}(-3\alpha)\).
• В тетради достаточно одной строки: «Ответ: \(-\operatorname{ctg}3\alpha\).» — без области определения, если её не требуют в задании.

Уточни, что именно нужно: как записать ответ, как произнести его вслух или как набрать \(\operatorname{ctg}\) в редакторе/на телефоне?

Краткий ответ: \[ n = 7\frac{1}{18} \]

Решение по шагам:

На изображении записано уравнение: \[ n - 6\frac{5}{6} = \frac{2}{9} \]

1. Выразим \(n\), перенеся вычитаемое в правую часть: \[ n = \frac{2}{9} + 6\frac{5}{6} \]

2. Превратим смешанное число в неправильную дробь: \[ 6\frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{41}{6} \]

3. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9 и 6 — это 18: \[ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18} \] \[ \frac{41}{6} = \frac{41 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{123}{18} \]

4. Сложим дроби: \[ n = \frac{4}{18} + \frac{123}{18} = \frac{127}{18} \]

5. Выделим целую часть (разделим 127 на 18): \[ 127 \div 18 = 7 \quad \text{(остаток } 1\text{)} \] Значит: \[ n = 7\frac{1}{18} \]

Проверка: \[ 7\frac{1}{18} - 6\frac{5}{6} = \frac{127}{18} - \frac{123}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \] Совпало с условием.

Ответ: \(n = 7\frac{1}{18}\) (или \(\frac{127}{18}\)).