реши с решением и в конце ответ как будто я сам решал

Краткий ответ

\[ \begin{cases} x = \pi + \pi k,\\[2pt] y = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\end{cases}\quad k \in \mathbb{Z} \]

Параметр \(k\) в обеих переменных один и тот же — это главная тонкость задачи.

Ключевые шаги

1. Выражаем одну переменную через другую. Из первого уравнения: \[ x = y + \frac{\pi}{2}. \]

2. Упрощаем второе уравнение по формуле приведения. \[ \cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin y \quad\Rightarrow\quad \cos^2 x = \sin^2 y. \] То есть квадрат косинуса «превращается» в квадрат синуса — именно это делает систему решаемой.

3. Подставляем. \[ \sin^2 y + \sin^2 y = 2 \;\Rightarrow\; 2\sin^2 y = 2 \;\Rightarrow\; \sin^2 y = 1. \] Значит \(\sin y = \pm 1\), а это одна и та же серия точек: \[ y = \frac{\pi}{2} + \pi k. \]

4. Находим \(x\). \[ x = y + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k + \frac{\pi}{2} = \pi + \pi k. \]

5. Почему нельзя писать разные буквы \(n\) и \(k\). Равенство \(x - y = \frac{\pi}{2}\) — точное, а не «с точностью до \(\pi\)». Если взять \(x = \pi + \pi n\) и \(y = \frac{\pi}{2} + \pi m\), то разность равна \(\frac{\pi}{2} + \pi(n-m)\), и она совпадёт с \(\frac{\pi}{2}\) только при \(n = m\). Поэтому сдвигать обе переменные нужно на одинаковое число шагов \(\pi\).

Проверка. При \(x = \pi + \pi k\): \(\cos x = \pm 1\), значит \(\cos^2 x = 1\). При \(y = \frac{\pi}{2} + \pi k\): \(\sin y = \pm 1\), значит \(\sin^2 y = 1\). Сумма \(1 + 1 = 2\) — верно. Разность \(\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) — тоже верно.

Оформление «как будто решал я сам»

Решаю систему: \[ > \begin{cases} x - y = \dfrac{\pi}{2}\\ \cos^2 x + \sin^2 y = 2\end{cases} > \] Из первого уравнения выражаю \(x\): \[ > x = y + \frac{\pi}{2}. > \] Подставляю во второе уравнение. По формуле приведения \(\cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin y\), поэтому \(\cos^2 x = \sin^2 y\). Получаю: \[ > \sin^2 y + \sin^2 y = 2,\qquad 2\sin^2 y = 2,\qquad \sin^2 y = 1,\qquad \sin y = \pm 1. > \] Отсюда \[ > y = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. > \] Тогда \[ > x = y + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k + \frac{\pi}{2} = \pi + \pi k. > \] Так как \(x - y = \frac{\pi}{2}\) — точное равенство, в обеих переменных беру один и тот же параметр \(k\). Ответ: \(x = \pi + \pi k,\; y = \frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}\).