Кратко

Дробь — это просто деление: \(\frac{3}{4}\) значит «3 разделить на 4». Почти всё сводится к трём идеям:

1. Складывать и вычитать можно только при одинаковом знаменателе.
2. Дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.
3. Деление на дробь = умножение на «перевёрнутую» дробь.

Дальше — что именно делать в каждом случае.

---

1. Что показывает дробь

\[ \frac{a}{b} \]

• \(b\) (знаменатель) — на сколько равных частей разделили целое;
• \(a\) (числитель) — сколько таких частей взяли.

Например, \(\frac{5}{8}\) — пиццу разрезали на 8 частей и взяли 5.

2. Основное свойство дроби

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \]

Проверь на числах: \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}\) — это одна и та же половина.

Из этого свойства два действия:

• Сократить — разделить верх и низ на общий делитель: \[ \frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3} \]
• Привести к общему знаменателю — умножить верх и низ на нужное число: \[ \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12} \]

3. Сложение и вычитание

Правило: знаменатель одинаковый → работаем только с числителями. Знаменатель одинаковый делает «куски» одного размера, и их можно просто считать.

\[ \frac{3}{4}+\frac{5}{6} \]

Знаменатели разные, поэтому приводим к общему — 12:

\[ \frac{3}{4}=\frac{9}{12},\qquad \frac{5}{6}=\frac{10}{12} \] \[ \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12} \]

Проверка: \(0{,}75+0{,}83\approx 1{,}58\), а \(\frac{19}{12}\approx 1{,}58\) — сходится.

Типичная ошибка: сложить и верх, и низ (\(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\neq\frac{8}{10}\)). Знаменатель — это «размер куска», он не складывается.

4. Умножение

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} \]

Лучше сокращать до умножения:

\[ \frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{3\cdot 4}{8\cdot 9}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6} \]

Проверка: \(0{,}375\cdot 0{,}444\approx 0{,}167=\frac{1}{6}\). Верно.

5. Деление

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \]

\[ \frac{2}{5}:\frac{3}{7}=\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{3}=\frac{14}{15} \]

Смысл: «сколько раз \(\frac{3}{7}\) помещается в \(\frac{2}{5}\)» — переворачивание и есть ответ на этот вопрос.

6. Смешанные числа

Перед умножением или делением переводи в неправильную дробь:

\[ 1\frac{2}{3}=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac{5}{3} \]

Обратно: \(\frac{19}{12}\) — делим 19 на 12, получаем 1 и остаток 7, значит \(1\frac{7}{12}\).

7. Сравнение дробей

• Одинаковые знаменатели → больше та, у которой больше числитель.
• Одинаковые числители → больше та, у которой меньше знаменатель (куски крупнее).
• Разные — приводи к общему знаменателю: \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{5}{7}\) → \(\frac{21}{28}\) и \(\frac{20}{28}\), значит \(\frac{3}{4}>\frac{5}{7}\).

---

Как проверять себя

1. Ответ лучше несократимый — сократи в конце.
2. Неправильную дробь уместно перевести в смешанное число.
3. Прикинь результат: \(\frac{19}{12}\) чуть больше 1 — и правда, \(0{,}75+0{,}83>1\). Если получилось меньше единицы, где-то ошибка.

Порядок действий универсальный: привести к общему знаменателю → посчитать числители → сократить → проверить прикидкой.