реши по системе

Кратко

\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad y=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}. \] То же самое можно записать парой: \(\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}\right)\).

Как к этому прийти

Система: \[ \begin{cases} x+y=\pi,\\ \sin^2 x+\sin^2 y=1. \end{cases} \]

Шаг 1. Убираем одну переменную. Из первого уравнения \(y=\pi-x\).

Шаг 2. Приводим второе уравнение к одной переменной. По формуле приведения \(\sin(\pi-x)=\sin x\), значит \[ \sin^2 y=\sin^2(\pi-x)=\sin^2 x. \] Уравнение становится таким: \[ \sin^2 x+\sin^2 x=1 \;\Longrightarrow\; 2\sin^2 x=1. \]

Шаг 3. Решаем простейшее уравнение. \[ \sin^2 x=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;\sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}. \] Точки \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) на окружности отстоят друг от друга на \(\frac{\pi}{2}\), поэтому все решения собираются в одну серию: \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Шаг 4. Находим \(y\). \[ y=\pi-x=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}. \]

Проверка

• При \(k=0\): \(x=\frac{\pi}{4},\ y=\frac{3\pi}{4}\). Сумма \(\pi\) ✓, а \(\sin^2\frac{\pi}{4}+\sin^2\frac{3\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\) ✓.
• При \(k=1\): \(x=\frac{3\pi}{4},\ y=\frac{\pi}{4}\) — та же проверка проходит ✓.
• Другой способ убедиться: \(\sin^2 x+\sin^2 y=1 \iff \cos 2x+\cos 2y=0 \iff 2\cos(x+y)\cos(x-y)=0\). Так как \(x+y=\pi\), то \(\cos\pi=-1\ne 0\), значит обязательно \(\cos(x-y)=0\), то есть \(x-y=\frac{\pi}{2}+\pi n\). Вместе с \(x+y=\pi\) это даёт ту же серию ответов.

Принцип на будущее: если в системе есть сумма (или разность) углов, выражай одну переменную через другую и своди тригонометрическое уравнение к одной переменной; формулы приведения \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) делают это быстро.