Пр

Задание читается: контрольная по алгебре, 9 класс, «Функции и их свойства. Квадратный трёхчлен». Ниже — ответы и решения; в № 4 нужен один уточняющий момент по графику (см. в конце).

Краткие ответы

1. \(g(x)=0\) при \(x=5\); \(g(x)<0\) при \(x>5\); \(g(x)>0\) при \(x<5\); функция убывает на всей области определения.
2. а) \((x-3)(x-7)\); б) \((5y-1)(y+2)\).
3. Парабола с вершиной \((-4;-2)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=-4\), нули \(x=-4\pm\sqrt{2}\).
4. См. разбор ниже — нужны точные координаты по твоему графику.
5. \(c=d=35\), наибольшее произведение \(1225\).

1. Исследование \(g(x)=-13x+65\)

Нули: \[ -13x+65=0 \;\Rightarrow\; x=5. \]

Знаки: так как \(k=-13<0\), при \(x>5\) выражение отрицательно, при \(x<5\) — положительно: \[ g(x)<0 \text{ при } x\in(5;+\infty),\qquad g(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;5). \]

Монотонность: угловой коэффициент \(k=-13<0\), значит прямая убывает на \(\mathbb{R}\).

2. Разложение на множители

а) \(x^2-10x+21=0\): по теореме Виета \(x_1+x_2=10,\ x_1x_2=21\), корни \(3\) и \(7\). \[ x^2-10x+21=(x-3)(x-7). \]

б) \(5y^2+9y-2=0\): \[ D=81-4\cdot5\cdot(-2)=121,\quad y=\frac{-9\pm11}{10}, \] \[ y_1=\frac{1}{5},\qquad y_2=-2. \] \[ 5y^2+9y-2=5\left(y-\frac15\right)(y+2)=(5y-1)(y+2). \]

3. График \(y=(x+4)^2-2\)

Это парабола \(y=x^2\), сдвинутая на 4 влево и на 2 вниз.

• вершина: \((-4;-2)\), ветви вверх;
• ось симметрии: \(x=-4\);
• нули: \((x+4)^2=2 \Rightarrow x=-4\pm\sqrt{2}\approx-5{,}41\) и \(-2{,}59\);
• точка на оси \(Oy\): \(x=0 \Rightarrow y=14\).

Точки для построения:

Наименьшее значение \(y=-2\) при \(x=-4\).

4. Чтение графика \(f\), заданной на \([-5;4]\)

Правила чтения:

• нули — точки пересечения графика с осью \(Ox\);
• промежутки возрастания — где график идёт вверх при движении слева направо, убывания — где вниз;
• область значений \(E(f)\) — от наименьшего \(y\) до наибольшего \(y\) на всём отрезке.

По фото видно: график определён на \([-5;4]\), наибольшее значение около \(y=3\), наименьшее около \(y=-1\), есть «горка» (максимум) слева и «ямка» (минимум) правее. Но цифры на осях в этой фотографии размыты, поэтому точные нули и абсциссы максимума/минимума я не возьмусь угадывать.

Уточни, пожалуйста: где график пересекает ось \(Ox\) и при каких \(x\) находятся верхняя и нижняя точки графика? Тогда я оформлю ответ по пункту 4 так же подробно.

5. Задача про \(c\) и \(d\)

Дано \(c+d=70\), \(c>0,\ d>0\). Обозначим произведение: \[ cd=c(70-c)=-c^2+70c=-(c-35)^2+1225. \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому \[ cd\le 1225, \] причём равенство достигается при \(c=35\), тогда \(d=70-35=35\).

Ответ: \(c=d=35\), наибольшее произведение равно \(1225\).

Тот же результат даёт и неравенство о средних: \(cd\le\left(\frac{c+d}{2}\right)^2=35^2=1225\), равенство при \(c=d\).