Две стороны треугольника равны 12 см и 7 см. Может ли его периметр быть равным: а) 28 см; б) 23 см; в) 38 см?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Решение (доказательство) должно быть полным, с пояснениями, которые опираются на уже изученные факты, формулы, определения, аксиомы, теоремы и следствия из них. В решении заданий 2–4 необходимо выполнить рисунок.

Задание 1 (24 балла).
Две стороны треугольника равны 12 см и 7 см. Может ли его периметр быть равным:
а) 28 см (8 баллов);
б) 23 см (8 баллов);
в) 38 см (8 баллов)?

Задание 2 (19 баллов).
Отрезки KT и PR пересекаются в точке A, которая является серединой отрезка KT. $\angle AKP = \angle ATR$. Докажите, что $KP = TR$.

Задание 3 (19 баллов).
Отрезки AK и CM пересекаются в точке B так, что $AB = CB$, $MB = KB$. Вычислите градусную меру угла ABM, если $\angle AMB = 47^\circ$, $\angle KCB = 68^\circ$.

Задание 4 (19 баллов).
Периметр прямоугольника равен 52 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите высоту треугольника, равновеликого данному прямоугольнику, если сторона, к которой проведена высота, равна 21 см.

Задание 5 (19 баллов).
Первый угол треугольника в два раза меньше второго угла и на 16° меньше третьего угла. Найдите углы этого треугольника.

Answer

На листе пять заданий — разбираю все.

Кратко

1. а) да; б) нет; в) нет.

2. $KP=TR$.

3. $65^\circ$.

4. $16$ см.

5. $41^\circ$, $82^\circ$, $57^\circ$.

1. Периметр треугольника

Пусть третья сторона равна $x$. По неравенству треугольника:
$$
12-7<x<12+7,
$$
то есть
$$
5<x<19.
$$
Периметр:
$$
P=12+7+x=19+x,
$$
поэтому
$$
24<P<38.
$$

а) $P=28$: тогда $x=9$, а $5<9<19$. Такой треугольник существует: стороны $12$, $7$, $9$ см. Да.

б) $P=23$: тогда $x=4$, но $7+4=11<12$. Треугольник невозможен. Нет.

в) $P=38$: тогда $x=19$, но $12+7=19$. Получается «вырожденный» случай, а не треугольник. Нет.

2. Доказательство $KP=TR$

Для рисунка: нарисуй две пересекающиеся в точке $A$ прямые; на одной отметь $K-A-T$ с $AK=AT$, на другой — $P-A-R$.

Так как $A$ — середина $KT$, то
$$
AK=AT.
$$
Углы $\angle KAP$ и $\angle TAR$ вертикальные, значит,
$$
\angle KAP=\angle TAR.
$$
По условию
$$
\angle AKP=\angle ATR.
$$

В треугольниках $AKP$ и $ATR$ есть сторона $AK=AT$ и два прилежащих к ней равных угла. По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам
$$
\triangle AKP\cong \triangle ATR.
$$
В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому
$$
KP=TR.
$$

3. Угол $ABM$

Треугольники $ABM$ и $CBK$:

$$
AB=CB,\qquad BM=BK,
$$
а углы $\angle ABM$ и $\angle CBK$ вертикальные, поэтому равны. Значит,
$$
\triangle ABM\cong \triangle CBK
$$
по двум сторонам и углу между ними.

Тогда соответствующие углы равны:
$$
\angle AMB=\angle CKB=47^\circ,
$$
$$
\angle MAB=\angle KCB=68^\circ.
$$

В треугольнике $ABM$ сумма углов $180^\circ$, поэтому
$$
\angle ABM=180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ.
$$

Ответ: $65^\circ$.

4. Равновеликие прямоугольник и треугольник

Пусть вторая сторона прямоугольника равна $b$. Тогда
$$
2(12+b)=52,
$$
$$
12+b=26,\qquad b=14.
$$
Площадь прямоугольника:
$$
S=12\cdot 14=168\ \text{см}^2.
$$
У равновеликого треугольника такая же площадь. Если сторона, к которой проведена высота, равна $21$ см, то
$$
168=\frac12\cdot 21\cdot h.
$$
Отсюда
$$
h=\frac{2\cdot168}{21}=\frac{336}{21}=16.
$$

Ответ: $16$ см.

5. Углы треугольника

Пусть первый угол равен $x$. Тогда второй угол равен $2x$, а третий — $x+16^\circ$. Сумма углов треугольника:
$$
x+2x+(x+16)=180.
$$
$$
4x+16=180,
$$
$$
4x=164,
$$
$$
x=41.
$$
Значит:

первый угол $41^\circ$;

второй $82^\circ$;

третий $57^\circ$.

Проверка:
$$
41+82+57=180.
$$

Ответ: $41^\circ$, $82^\circ$, $57^\circ$.

В задачах 2–4 не забудь перенести описанные чертежи в тетрадь: этого требует условие.

Две стороны треугольника равны 12 см и 7 см. Может ли его периметр быть равным: а) 28 см; б) 23 см; в) 38 см?

1. Периметр треугольника

2. Доказательство \(KP=TR\)

3. Угол \(ABM\)

4. Равновеликие прямоугольник и треугольник

5. Углы треугольника

Обсуждение

№ 2

№ 3

№ 4

Если чертишь на листе А4

Если чертишь в обычной тетради