Найди наибольший общий делитель чисел, если: 1) a = 2·3·3·3·3·5·11, b = 2·2·3·5·7·13; 2) a = 2·2·5·5·7·31, b = 2·3·5·5·5·31;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Найди наибольший общий делитель чисел, если:
- \(a = 2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot11\), \(b = 2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot13\);
- \(a = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot7\cdot31\), \(b = 2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5\cdot31\);
- \(a = 3\cdot7\cdot7\cdot19\), \(b = 2\cdot5\cdot5\cdot11\cdot19\), \(c = 2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\);
- \(a = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot29\), \(b = 3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot29\), \(c = 2\cdot3\cdot5\cdot11\cdot29\).
На фото несколько номеров, поэтому я разобрал первый — № 672. Вот полное решение всех четырёх пунктов.
Кратко: 1) 30; 2) 1550; 3) 1; 4) 87.
Правило
Если числа разложены на простые множители, то \(\text{НОД}\) — это произведение только тех простых множителей, которые есть у всех данных чисел, причём каждый берётся в наименьшей из встретившихся степеней.
Разбор
1) \(a = 2\cdot3^4\cdot5\cdot11\) (четыре тройки), \(b = 2^2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot13\).
Общие множители: 2 (у \(a\) одна, у \(b\) две → берём одну), 3 (четыре и одна → одну), 5 (по одной).
\[\text{НОД} = 2\cdot3\cdot5 = 30\]
2) \(a = 2^2\cdot5^2\cdot7\cdot31\), \(b = 2\cdot3\cdot5^3\cdot31\).
Общие: 2 (минимум 1), 5 (минимум 2), 31.
\[\text{НОД} = 2\cdot5^2\cdot31 = 2\cdot25\cdot31 = 1550\]
3) \(a = 3\cdot7^2\cdot19\), \(b = 2\cdot5^2\cdot11\cdot19\), \(c = 2\cdot3^2\cdot5\cdot7\).
Здесь нужен множитель, который есть во всех трёх числах. 19 есть у \(a\) и \(b\), но нет у \(c\); 3 и 7 есть у \(a\) и \(c\), но нет у \(b\); 2 и 5 есть у \(b\) и \(c\), но нет у \(a\). Общего множителя нет ни одного.
\[\text{НОД} = 1\]
4) \(a = 2^2\cdot3^3\cdot29\), \(b = 3^2\cdot5^2\cdot29\), \(c = 2\cdot3\cdot5\cdot11\cdot29\).
Общие для всех трёх: 3 (минимум одна) и 29 (по одной).
\[\text{НОД} = 3\cdot29 = 87\]
Проверка
Делим каждое число на найденный НОД — у частных не должно остаться общего делителя, кроме 1:
- \(8910:30=297\), \(5460:30=182\); \(297=3^3\cdot11\), \(182=2\cdot7\cdot13\) — общего нет. ✔
- \(21\,700:1550=14\), \(23\,250:1550=15\) — общий только 1. ✔
- \(2793\), \(10\,450\), \(630\): у 2793 и 10450 общий 19, но \(630 = 2\cdot3^2\cdot5\cdot7\) на 19 не делится. ✔
- \(3132:87=36\), \(6525:87=75\), \(9570:87=110\) — у 36, 75, 110 общий только 1. ✔
Такой способ работает для любых чисел: сначала раскладываешь на простые, потом «собираешь» НОД из общих множителей с наименьшими показателями.
На фото есть ещё № 673–675 — скажи, какой разобрать.
Обсуждение
6 сообщенийможешь разобрать номер 674
Готов разобрать № 674, но его условия я не вижу: на доступном изображении читается только № 672, а следующие номера не попали в кадр или неразборчивы.
Пришли, пожалуйста, фото именно № 674 или перепиши его условие текстом — и я сразу решу с объяснением.
Это продолжение: теперь условие № 674 видно. Решаю его.
Кратко: наибольшее число подарков — 135. В каждом подарке будет 2 яблока и 5 мандаринов.
Почему так
Подарки должны быть одинаковыми, а все яблоки и мандарины — использованы полностью. Значит, число подарков должно делиться и на 270, и на 675. Наибольшее такое число — это \(\text{НОД}(270;675)\).
Раскладываем на простые множители:
\[ 270 = 2\cdot 135 = 2\cdot 3^3\cdot 5 \]
\[ 675 = 3^3\cdot 5^2 \]
Берём общие множители в наименьших степенях:
\[ \text{НОД}(270;675)=3^3\cdot 5=27\cdot 5=135 \]
Проверка
\[ 270:135=2 \quad\text{— по 2 яблока в каждом подарке} \]
\[ 675:135=5 \quad\text{— по 5 мандаринов в каждом подарке} \]
Получается 135 одинаковых наборов, и все фрукты израсходованы. Больше 135 подарков сделать нельзя: тогда 270 яблок или 675 мандаринов уже не разделятся поровну.
Количество сладостей в условии не указано, поэтому на ответ оно не влияет. Если нужно разобрать ещё и № 675 — пришли запрос, решу отдельно.
можешь сделать номер 673
Кратко: 1) 52; 2) 22; 3) 285; 4) 20.
№ 673
1) \(520\) и \(468\).
\[ 520=2^3\cdot 5\cdot 13 \]
\[ 468=2^2\cdot 3^2\cdot 13 \]
Общие множители берём в наименьших степенях:
\[ \text{НОД}=2^2\cdot 13=52 \]
Проверка: \(520:52=10\), \(468:52=9\).
2) \(814\) и \(4400\).
\[ 814=2\cdot 11\cdot 37 \]
\[ 4400=2^4\cdot 5^2\cdot 11 \]
\[ \text{НОД}=2\cdot 11=22 \]
Проверка: \(814:22=37\), \(4400:22=200\).
3) \(855\) и \(11\,400\).
\[ 855=3^2\cdot 5\cdot 19 \]
\[ 11\,400=2^3\cdot 3\cdot 5^2\cdot 19 \]
\[ \text{НОД}=3\cdot 5\cdot 19=285 \]
Проверка: \(855:285=3\), \(11\,400:285=40\).
4) \(40\), \(100\) и \(180\).
\[ 40=2^3\cdot 5 \]
\[ 100=2^2\cdot 5^2 \]
\[ 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5 \]
Общие множители для всех трёх чисел — \(2\) и \(5\). Степень двойки берём наименьшую: \(2^2\).
\[ \text{НОД}=2^2\cdot 5=20 \]
Проверка: \(40:20=2\), \(100:20=5\), \(180:20=9\).
Ответ: 1) \(52\); 2) \(22\); 3) \(285\); 4) \(20\).
